tag:blogger.com,1999:blog-21133617190460572922024-03-19T01:48:29.633-07:00papaveri48Ιστολόγιο μαθηματικών γρίφων και σκακιούPAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.comBlogger82125tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-22206513816944343912024-01-03T08:29:00.000-08:002024-01-04T03:13:31.902-08:00Νέο Έτος 2024!!<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAD8KNWtJj7HT5sg0PWAwYqvvIu-i1s6vm0777JkPCJ-1C7DBzMl1FJDBvVlZqyEN9noJYWwF3Nx4X2Eo5vDGJ5jkaGh8w41p4VG8AykfNzZqISf2l_tHXnYaquqx6ZYtOWEYgIhYpfbDPJszS9X6uqG2ALvlllHXs1q7KVo0EWPiIhiDLgrU0yG7WfmE/s224/%CE%9D%CE%AD%CE%BF%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202024.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="151" data-original-width="224" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAD8KNWtJj7HT5sg0PWAwYqvvIu-i1s6vm0777JkPCJ-1C7DBzMl1FJDBvVlZqyEN9noJYWwF3Nx4X2Eo5vDGJ5jkaGh8w41p4VG8AykfNzZqISf2l_tHXnYaquqx6ZYtOWEYgIhYpfbDPJszS9X6uqG2ALvlllHXs1q7KVo0EWPiIhiDLgrU0yG7WfmE/s320/%CE%9D%CE%AD%CE%BF%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202024.png"/></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxJ8EHR_li5Yx36_1RlLr1LdjioR0WGlyxtc7L47PNAoIOdn-2YaDgJQKpQ8DirPkTS3anDP6_qu0bwHfgBuNLZMaYctTXXDn0UrSQf5tmKjr5Ovlg6-a3Tt5uZdVglKKlCfx55AoW6Gof0lKgYNfY1CdCrPeP1ITc26r360GdkeGJ9653nuzB46liA4s/s459/%CE%9D%CE%AD%CE%BF%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202024_1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="318" data-original-width="459" height="222" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxJ8EHR_li5Yx36_1RlLr1LdjioR0WGlyxtc7L47PNAoIOdn-2YaDgJQKpQ8DirPkTS3anDP6_qu0bwHfgBuNLZMaYctTXXDn0UrSQf5tmKjr5Ovlg6-a3Tt5uZdVglKKlCfx55AoW6Gof0lKgYNfY1CdCrPeP1ITc26r360GdkeGJ9653nuzB46liA4s/s320/%CE%9D%CE%AD%CE%BF%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202024_1.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><p align="center" class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: 18pt; mso-bidi-font-size: 11.0pt;">Εύχομαι στους φίλους της
ιστοσελίδας:<o:p></o:p></span></p>
<p align="center" class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: 18pt; mso-bidi-font-size: 11.0pt;">Χ Ρ Ο Ν Ι Α Π Ο Λ Λ
Α!!<o:p></o:p></span></p>
<p align="center" class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: 18pt; mso-bidi-font-size: 11.0pt;">Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο<o:p></o:p></span></p>
<p align="center" class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: 18pt; mso-bidi-font-size: 11.0pt;">ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ<o:p></o:p></span></p>
<p align="center" class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: 18pt; mso-bidi-font-size: 11.0pt;">Τ Ο Ν Ε Ο Ε Τ Ο
Σ 2 0 24!!<o:p></o:p></span></p>
<p align="center" class="MsoNoSpacing"><span lang="EN-US" style="font-size: 18pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 11.0pt;"><span style="color: red;">* *
* * * * *</span><o:p></o:p></span></p>
<p align="center" class="MsoNoSpacing"><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0; font-size: 18pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 11.0pt;">H A P P
Y N E W Y E A R 2 0 24!!<o:p></o:p></span></b></p></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><p></p>PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-26792454234299118782023-12-23T07:50:00.000-08:002023-12-23T07:50:02.812-08:00Χριστούγεννα 2023!!<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUFI-guCB9ZY7VgEzJPX8saymVmACSOiYc4XtlCeR2UD1bP5IMvcsFTdpYKNNxXtrjIyfd9H7q6g8tiHwv7vy2JzSOQ0uNUFhPMINhTBqk836qaQQTZS6P1lwMm6MDQz200pxteqwnJca1uA4Nf7I9QUPrxKFDsCVgbH3bu-vh8TswaJAL3-L5ytsKi2g/s422/%CE%A7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%8D%CE%B3%CE%B5%CE%BD%CE%BD%CE%B1%202022!!!.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="254" data-original-width="422" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUFI-guCB9ZY7VgEzJPX8saymVmACSOiYc4XtlCeR2UD1bP5IMvcsFTdpYKNNxXtrjIyfd9H7q6g8tiHwv7vy2JzSOQ0uNUFhPMINhTBqk836qaQQTZS6P1lwMm6MDQz200pxteqwnJca1uA4Nf7I9QUPrxKFDsCVgbH3bu-vh8TswaJAL3-L5ytsKi2g/s320/%CE%A7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%8D%CE%B3%CE%B5%CE%BD%CE%BD%CE%B1%202022!!!.png"/></a></div>
<p>Η Ιστοσελίδα του Papaveri48a εύχεται σε όλους:</p>
<p style="text-align: center;"><span style="color: #2b00fe; font-size: large;"><b>ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!</b></span></p>
<p style="text-align: center;"><span style="color: #2b00fe; font-size: large;"><b>Και </b></span></p><p style="text-align: center;"><span style="color: #2b00fe; font-size: large;"><b>ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!</b></span></p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhu_Aeqe2puVjZ6Xun8NzQVaJC6yK4pbS_KdT1Tn2t4Zlq-nWxJ7cXOPbvV2mxVbtntZKt3yQFjIqs1ypHwZkDq2eA8B5vvK7nzCSi5wKaGHVPkH9tm0qGu-KYhCLroMaUaY_ZZ-r_xVqnI3271lsdUwiUDMbXKm_tjvLwgdi1IeJdEtJHSZZ3qikwX/s314/%CE%9C%CF%80%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CF%82.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="198" data-original-width="314" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhu_Aeqe2puVjZ6Xun8NzQVaJC6yK4pbS_KdT1Tn2t4Zlq-nWxJ7cXOPbvV2mxVbtntZKt3yQFjIqs1ypHwZkDq2eA8B5vvK7nzCSi5wKaGHVPkH9tm0qGu-KYhCLroMaUaY_ZZ-r_xVqnI3271lsdUwiUDMbXKm_tjvLwgdi1IeJdEtJHSZZ3qikwX/s320/%CE%9C%CF%80%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CF%82.png"/></a></div>
</div>PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-73984828585520483102023-08-13T09:00:00.001-07:002023-08-13T09:00:27.746-07:00Το Αγρόκτημα<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHQaOrCDK7fozhaa3idKnZU0VZywxNcjvc_KmIfiCtOJtxRTEV9nFi9zyd1uR-FzTdryeiHmdBKRw7V0k1RRJUDMrGfeyXSpOdBFwuVreYnBeopuIzrR_qq6WHMndxSKRFVASgKbc3ukOGS-60b2RjuxAqF9hlCFKcghPddFIiAf_BLS3XGk6jsjHCDw4/s235/77.%20%CE%A4%CE%BF%20%CE%91%CE%B3%CF%81%CF%8C%CE%BA%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="169" data-original-width="235" height="169" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHQaOrCDK7fozhaa3idKnZU0VZywxNcjvc_KmIfiCtOJtxRTEV9nFi9zyd1uR-FzTdryeiHmdBKRw7V0k1RRJUDMrGfeyXSpOdBFwuVreYnBeopuIzrR_qq6WHMndxSKRFVASgKbc3ukOGS-60b2RjuxAqF9hlCFKcghPddFIiAf_BLS3XGk6jsjHCDw4/s1600/77.%20%CE%A4%CE%BF%20%CE%91%CE%B3%CF%81%CF%8C%CE%BA%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1.png" width="235" /></a></div><br /><p></p>
<p>Σ’ ένα αγρόκτημα ένας αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε ως εξής:</p>
<p>-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά 120 από τις κότες μου.»</p>
<p>Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε από το καθ' ένα;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast1").click(function(){
$("div.jast2").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a href="javascript:void(148)" class="jast149">Λύση</a></h4>
<div class="jast148" style="display: 149">Κείμενο που θα κρύβεται.</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-32758431705427058102023-04-30T13:58:00.007-07:002023-05-01T03:41:38.459-07:00Πρωτομαγιά 2023!!<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRUWZOtKYFVbcsbHL4JDJS1BHAuUV01DNqEf5iQuvmBKrTxTNn7ByG-upvkJGT92bxFy6oeWn_7oWEY1cWe8PHEq7PpEfdflX2kCT-hgBQsP8mdog14SMTGewtyJQbxR17_7OP0qO9d7MNJUUp-cySrlogE-RA9gv-EvgNBnSJVp0SyBM8RrPrx3vq/s306/%CE%A0%CF%81%CF%89%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%AC%202023.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="232" data-original-width="306" height="232" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRUWZOtKYFVbcsbHL4JDJS1BHAuUV01DNqEf5iQuvmBKrTxTNn7ByG-upvkJGT92bxFy6oeWn_7oWEY1cWe8PHEq7PpEfdflX2kCT-hgBQsP8mdog14SMTGewtyJQbxR17_7OP0qO9d7MNJUUp-cySrlogE-RA9gv-EvgNBnSJVp0SyBM8RrPrx3vq/s1600/%CE%A0%CF%81%CF%89%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%AC%202023.png" width="306" /></a></div><br /><p></p>
<p>Αντιγράφω το κείμενο από την ιστοσελίδα του Δ. Σπυρόπουλου «Το ιστολόγιο ενός Μαθηματικού και όχι μόνο...», όπου στις τρεις γραμμές του συμπεριλαμβάνει όλο το νόημα της σημερινής ημέρας που δεν είναι ΑΡΓΙΑ, αλλά ΑΠΕΡΓΙΑ!! </p>
<p>*Καλό μήνα και καλή πρωτομαγιά.* *Να είμαστε καλά και να θυμόμαστε τους κοινωνικούς αγώνες των * *εργατών που ανέδειξαν **αυτονόητα δικαιώματα και αντέταξαν ηρωισμό * *απέναντι στην κάθε είδους αυθαιρεσία.......*</p>
<p>Η ιστοσελίδα του «Papaveri48a» σας εύχεται με τη σειρά του Καλό Μήνα και Καλή Πρωτομαγιά!!</p>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-70111102031925615412023-04-16T10:10:00.016-07:002023-10-05T08:37:18.144-07:00Τεστ Μαθηματικών<p><b>(α)<u>Τα Χτυπήματα</b></u></p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQYmks2CkTJJC-fw-EJIwL1vrxqy2qB-JRmQo8yrQTmK0XWvEu7kNL09JVI9kUMMXibFXASlkNeBYYmqtQyGST6PCR7Zkqgd_RqQQ7SZ-sJnpjlfojOOSLoUjnMMu6yw-N7VEyxSp3gZf7yZcwPp7LYuQcSFSpxW2xRrM3dgEPuLnStaFaxdqwjXKb/s254/%CE%A4%CE%B1%20%CE%A7%CF%84%CF%85%CF%80%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="254" data-original-width="163" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQYmks2CkTJJC-fw-EJIwL1vrxqy2qB-JRmQo8yrQTmK0XWvEu7kNL09JVI9kUMMXibFXASlkNeBYYmqtQyGST6PCR7Zkqgd_RqQQ7SZ-sJnpjlfojOOSLoUjnMMu6yw-N7VEyxSp3gZf7yZcwPp7LYuQcSFSpxW2xRrM3dgEPuLnStaFaxdqwjXKb/w150-h233/%CE%A4%CE%B1%20%CE%A7%CF%84%CF%85%CF%80%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1.png" width="150" /></a></div>
<p>Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 24ωρο;</p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/s203/Kar;e.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="75" data-original-width="203" height="38" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/w103-h38/Kar;e.png" width="103" /></a></div>
<p><b>(β)<u>Ο Πολλαπλασιασμός</b></u></p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6vtAO31Rnzmt9rbrPfGMCmITy_9jNtkx69y9tctWo3221wyWCpwf8CiAUjmcjznCN0Z3_bcAl4jj8FZbUGScKuTV0GMnmcTloEFSq3fegQ4PXomf3KX8GUT5UMWDTbyAv8Iqg-WR4skM-MqHGgQvqV31jBxiGx4Pk5s1B_YjdrwJoHc8EwRhkJecQ/s300/%CE%9F%20%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="168" data-original-width="300" height="97" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6vtAO31Rnzmt9rbrPfGMCmITy_9jNtkx69y9tctWo3221wyWCpwf8CiAUjmcjznCN0Z3_bcAl4jj8FZbUGScKuTV0GMnmcTloEFSq3fegQ4PXomf3KX8GUT5UMWDTbyAv8Iqg-WR4skM-MqHGgQvqV31jBxiGx4Pk5s1B_YjdrwJoHc8EwRhkJecQ/w173-h97/%CE%9F%20%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82.png" width="173" /></a></div>
<p>Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών (αμοιβάδων) διπλασιάζεται κάθε μέρα. Σε 8 μέρες ο πληθυσμός αυξήθηκε σε100 εκατομμύρια. Σε πόσες μέρες θα αυξηθεί σε 400 εκατομμύρια;</p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/s203/Kar;e.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="75" data-original-width="203" height="38" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/w103-h38/Kar;e.png" width="103" /></a></div>
<p><b>(γ)<u>Ο Όρος</b></u></p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdZ5Nz2D-HEpZUj7EPT4V-FPPv2eES4gwn_eNEoyqBMZ0uO-ddMyg1-0Iq33K25USwTPCm9X6jdyIIOPX8RyEO-ahouEU0XTDgTyhOPyMtAjAKUiyoGon41ltelb0M9zxbpyzLdkjTPDackHxiI6qPLhtBllvveakylKpCNe_Dmp90j1-LuIO1WqRE/s104/%CE%9F%20%CE%8C%CF%81%CE%BF%CF%82.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="102" data-original-width="104" height="85" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdZ5Nz2D-HEpZUj7EPT4V-FPPv2eES4gwn_eNEoyqBMZ0uO-ddMyg1-0Iq33K25USwTPCm9X6jdyIIOPX8RyEO-ahouEU0XTDgTyhOPyMtAjAKUiyoGon41ltelb0M9zxbpyzLdkjTPDackHxiI6qPLhtBllvveakylKpCNe_Dmp90j1-LuIO1WqRE/w86-h85/%CE%9F%20%CE%8C%CF%81%CE%BF%CF%82.png" width="86" /></a></div>
<p><b>(i)</b>Δίνεται η παρακάτω σειρά αριθμών 5, 16, 50,…? Ποιος είναι ο επόμενος όρος;</p>
<p><b>(ii)</b>Ποιοι είναι οι επόμενοι δύο αριθμοί σε αυτήν την ακολουθία: 5, 9, 17, 33, 65,…?</p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/s203/Kar;e.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="75" data-original-width="203" height="38" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/w103-h38/Kar;e.png" width="103" /></a></div>
<p><b>(δ)<u>Τα Αυγά</b></u></p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoJEH5fpZ3vFXqRliCImfwxgfc4Juh7Jeu-V6pJQHXkcXgljleWCQTgohFMIsq_1e3_UOUijdS8A6dZ2U039AtP2b95D_ngRVO74vhXo6bht0DIB_kQ2wf9fQrHNoK0TV8K6bxUpRrbh5suEBjItCBIS8N8nZlATWSCyjVp6fD2DJknkIICqUPviEZ/s289/%CE%A4%CE%B1%20%CE%91%CF%85%CE%B3%CE%AC.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="217" data-original-width="289" height="140" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoJEH5fpZ3vFXqRliCImfwxgfc4Juh7Jeu-V6pJQHXkcXgljleWCQTgohFMIsq_1e3_UOUijdS8A6dZ2U039AtP2b95D_ngRVO74vhXo6bht0DIB_kQ2wf9fQrHNoK0TV8K6bxUpRrbh5suEBjItCBIS8N8nZlATWSCyjVp6fD2DJknkIICqUPviEZ/w186-h140/%CE%A4%CE%B1%20%CE%91%CF%85%CE%B3%CE%AC.png" width="186" /></a></div>
<p>Πόσα αυγά υπάρχουν στην αυγοθήκη;</p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/s203/Kar;e.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="75" data-original-width="203" height="38" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKwanX0wkleq9AqvCpx-Qr7_idWc0ZxU-HiK-6QPUmYy0GprZG02f7kh5dUNhYLeJ9jC6clC3D61SI3X1oklJFT91Q7sWOtS6Rht6jJlqEma-QQ3-6RCyV_YV--CR4FRAHMLP9H6VdsvbV9PcAj4_3HQKKmQwErLGLMGXA3g4_zDh6B2o3I2j2Mb1/w103-h38/Kar;e.png" width="103" /></a></div>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast146").click(function(){
$("div.jast147").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast146" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast147" style="display: none;">
<p><b>(α) Τα Χτυπήματα</b></p>
<p>156 χτυπήματα.</p>
<p>Αθροίζουμε τις 12 ώρες και το άθοισμα το πολλαπλασιάζπυμε με το 2 κι’ έχουμε:</p>
<p>2x(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12) = 2x78 = 156</p>
<p><b>(β) Ο Πολλαπλασιασμός</b></p>
<p>Σε 10 ημέρες.Την 9η ημέρα αυξάνεται σε 2*100.000.000=200.000.000. Τη 10 ημέρα αυξάνεται σε 2*200.000.000=400.000.000.</p>
<p><b>(γ) Ο Όρος</b></p>
<p><b>(i)</b>5*3+1=15+1=16</p>
<p>16*3+2=48+2=50</p>
<p>50*3+3=150+3=153</p>
<p><b>(ii)</b>n+(n-1)</p>
<p>5+4=9</p>
<p>9+2*4=9+8=17</p>
<p>17+2*8=17+16=33</p>
<p>33+2*16=33+32=65</p>
<p>65+2*32=65+64=129</p>
<p>129+2*64=129+128=257</p>
<p><b>(δ) Τα Αυγά</b></p>
<p>Υπάρχουν 30 αυγά. Πώς είμαστε σίγουροι;</p>
<p>Υπάρχουν 4 σειρές με 4 αυγά στο κάτω μέρος, που σημαίνει ότι έχει 4*4 = 16 αυγά.</p>
<p>Υπάρχουν 3 σειρές με 3 αυγά στη δεύτερη στρώση, που σημαίνει ότι έχει 3*3 = 9 αυγά.</p>
<p>Υπάρχουν 2 σειρές με 2 αυγά στο στρώμα πάνω από αυτό, που σημαίνει ότι έχει 2*2 = 4 αυγά.</p>
<p>Υπάρχει μόνο ένα αυγό στο επάνω στρώμα.</p>
<p>Όταν προσθέσετε τα αυγά σε όλες τις στρώσεις, τότε θα διαπιστώσετε ότι ο συνολικός αριθμός των αυγών στη θήκη ανέρχεται σε:</p>
<p>16+9+4+1=30</p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com9tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-31074010672995701122023-04-15T14:10:00.004-07:002023-04-15T14:14:09.698-07:00ΠΑΣΧΑ 2023!!<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJve5jW-LerXmkmyYjrAJJ_JLuZePKozO9axhU0W4ls9kOrdESkriKAHxos7Gu3sxabw5vlVCqdmh3PPW7E2a-YDPBcd2e-zTXkeFPWchMko4hYoSOeJ2OUNXSZO6XaMzSnKENN3CyagtVNwB9eqqJdYYoiVyEvl95FNBHWX0YUtDMHv51hKmBdhok/s403/%CE%A7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CF%8C%CF%82%20%CE%91%CE%BD%CE%AD%CF%83%CF%84%CE%B7!!%202023.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="403" data-original-width="353" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJve5jW-LerXmkmyYjrAJJ_JLuZePKozO9axhU0W4ls9kOrdESkriKAHxos7Gu3sxabw5vlVCqdmh3PPW7E2a-YDPBcd2e-zTXkeFPWchMko4hYoSOeJ2OUNXSZO6XaMzSnKENN3CyagtVNwB9eqqJdYYoiVyEvl95FNBHWX0YUtDMHv51hKmBdhok/s320/%CE%A7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CF%8C%CF%82%20%CE%91%CE%BD%CE%AD%CF%83%CF%84%CE%B7!!%202023.png" width="280" /></a></div><br /> <b><span style="font-size: large;">Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"</span></b><p><b><span style="font-size: large;">Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"</span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;">Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"</span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;">Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or</span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;">Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"</span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;">Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"</span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;"> <span style="color: #2b00fe;">* * * * * * * * *</span></span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;">Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948a” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά!</span></b></p>
<p><b><span style="font-size: large;">Είθε ο Ανασστημένος Ιησούς Χριστός να φέρει την Αγάπη και την Ειρήνη σ΄όλο τον Κόσμα.</span></b></p>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-21770906051664014212023-04-10T12:13:00.003-07:002023-04-10T12:17:34.167-07:00ΠΑΣΧΑ 2023!!<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidgI--sv1_70oL5vDcFjXb_wbotPjPKqEMvy4CXo54yHobLPrIFF3ElYDDTKkNh4qQBmJh5dYuBFdaa9PrIotTyzQPCACq-XWS-rhUqqY7qz1A8SqLHp6n9UNyocJy8JIXVRnI-Lin1TMT9b-hoNGGqiJK8WGojexVeUrr0ZiwzhBBzcKNop64eBHa/s385/%CE%A0%CE%AC%CF%83%CF%87%CE%B1%202023!!!.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="385" data-original-width="345" height="359" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidgI--sv1_70oL5vDcFjXb_wbotPjPKqEMvy4CXo54yHobLPrIFF3ElYDDTKkNh4qQBmJh5dYuBFdaa9PrIotTyzQPCACq-XWS-rhUqqY7qz1A8SqLHp6n9UNyocJy8JIXVRnI-Lin1TMT9b-hoNGGqiJK8WGojexVeUrr0ZiwzhBBzcKNop64eBHa/w322-h359/%CE%A0%CE%AC%CF%83%CF%87%CE%B1%202023!!!.png" width="322" /></a></div>
<p><span style="font-size: large;"><b>Η ιστοσελίδα του "Papaveri48a" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!</b></span></p>PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-72317879685221987592023-04-10T11:59:00.008-07:002023-10-05T08:33:39.108-07:00Οι Δύο Έμποροι<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQ2Nan2horlkSY1q8MHHaBJSIeoZkmVYbL3fXTnTSAkKNoLHzpxCSy-hJpzdO0El3Cn8W6KwWezVd9p3RuiH5r1VZjiDYdqrUyjDNkLE7DPxDZxOalcpmBjdDbXtXEhlLRXmWDn_Vaw_PGD7gfbUO4qH-lc-C0duaVtDafMitHP9qJgOOuVJsJqt5W/s287/%CE%9F%CE%B9%20%CE%94%CF%8D%CE%BF%20%CE%88%CE%BC%CF%80%CE%BF%CF%81%CE%BF%CE%B9.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="227" data-original-width="287" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQ2Nan2horlkSY1q8MHHaBJSIeoZkmVYbL3fXTnTSAkKNoLHzpxCSy-hJpzdO0El3Cn8W6KwWezVd9p3RuiH5r1VZjiDYdqrUyjDNkLE7DPxDZxOalcpmBjdDbXtXEhlLRXmWDn_Vaw_PGD7gfbUO4qH-lc-C0duaVtDafMitHP9qJgOOuVJsJqt5W/s320/%CE%9F%CE%B9%20%CE%94%CF%8D%CE%BF%20%CE%88%CE%BC%CF%80%CE%BF%CF%81%CE%BF%CE%B9.png"/></a></div>
<p>Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.</p>
<p>Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:</p>
<p>-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»</p>
<p>Ο δεύτερος τότε του λέει:</p>
<p>-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/7 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»</p>
<p>Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast144").click(function(){
$("div.jast145").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a href="javascript:void(0)" class="jast144">Λύση</a></h4>
<div class="jast145" style="display: none;">
<p>Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:</p>
<p>x+(y/5)=10,000 (1)</p>
<p>y+(x/7)=10.000 (2)</p>
<p>Από την (1) συνάγουμε ότι:</p>
<p>x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)</p>
<p>Από την (2) συνάγουμε ότι:</p>
<p>y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)</p>
<p>Από τη (4) συνάγουμε ότι:</p>
<p>7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)</p>
<p>Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:</p>
<p>5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ----> 34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ---->
y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)</p>
<p>Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:</p>
<p>x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000</p>
<p>y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000</p>
<p><b>Πρόβλημα του Λόγιου μαθηματικού Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο του «Δεύτερη των Επιστολών», που γράφτηκε το 1341. Ο Ευάγγελος Σταμάτης τον χαρακτήρζε ως τον «Πρίγκιπα της Βυζαντινής Αριθμητικής».</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-57867110523474866482023-04-10T11:55:00.005-07:002023-04-16T02:53:58.401-07:00Η Πιθανότητα <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNoOtZhQuzKgI7ZG0qHUshmLXU6R4YOMXo-9bc5BSKCwroJ7kVvXNJno71AxsKFmVlfPweEWzePQr9jycY8qowQKfv0I3tczqTWeBdVziLrCCXlORcHTASDeZBgtsANEydLBlzhWDgYVGAe5gO65CAaPLD1s0d0gDaakNTTxGORyTFL3CRuKKUKkpa/s392/%CE%97%20%CE%A0%CE%B9%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="220" data-original-width="392" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNoOtZhQuzKgI7ZG0qHUshmLXU6R4YOMXo-9bc5BSKCwroJ7kVvXNJno71AxsKFmVlfPweEWzePQr9jycY8qowQKfv0I3tczqTWeBdVziLrCCXlORcHTASDeZBgtsANEydLBlzhWDgYVGAe5gO65CAaPLD1s0d0gDaakNTTxGORyTFL3CRuKKUKkpa/s320/%CE%97%20%CE%A0%CE%B9%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%20.png" width="320" /></a></div>
<p>Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast142").click(function(){
$("div.jast143").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast142" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast143" style="display: none;">
<p>Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:</p>
<p>P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5</p>
<p>Η πιθανότητα να πιαστεί είναι:</p>
<p>0.5*0.5=0.25</p>
<p>Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι:</p>
<p>1−0.25=0.75</p>
<p>Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!</p>
<p>Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα να έχουν πιαστεί είναι:</p>
<p>5*0.5=2.5 μύγες</p>
<p>Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι:</p>
<p>(3−2.5)* 0.5=0.25</p>
<p>Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:</p>
<p>1−0.25=0.75</p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-86755736900154589302023-04-01T14:11:00.006-07:002023-04-06T09:57:10.747-07:00Η Τιμή <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3-Ut-KtmQkG5UG7PAG2EeWbsiuYnkOVFYW5M16AxVS6AdoB_EP-5owBMiBq6HWWAvYgcbSxpNBQpA_rMAzXnPFWfleKNC_fvPKrPy_qDdJfQqudqF4VQERL4O7VumCACsEd2gMA07PWrtFVK_VF9P5sZIgGugrE-IYtA8KeNtRK9CW641SyOOg-HT/s278/%CE%97%20%CE%A4%CE%B9%CE%BC%CE%AE.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="185" data-original-width="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3-Ut-KtmQkG5UG7PAG2EeWbsiuYnkOVFYW5M16AxVS6AdoB_EP-5owBMiBq6HWWAvYgcbSxpNBQpA_rMAzXnPFWfleKNC_fvPKrPy_qDdJfQqudqF4VQERL4O7VumCACsEd2gMA07PWrtFVK_VF9P5sZIgGugrE-IYtA8KeNtRK9CW641SyOOg-HT/s320/%CE%97%20%CE%A4%CE%B9%CE%BC%CE%AE.png" width="320" /></a></div>
<p>Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:</p>
<p><b>(α)</b>Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.</p>
<p><b>(β)</b>Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.</p>
<p><b>(γ)</b>Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.</p>
<p>Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast140").click(function(){
$("div.jast141").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast140" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast141" style="display: none;">
<p>Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:</p>
<p>C(n,2)≤3n ⇔ [n*(n-1)]/2≤3n ⇔ (n-1)/2≤3 ⇔ n≤7</p>
<p>Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:</p>
<p>C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7</p>
<p>Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:</p>
<p>(Α, Β, Γ), (Α, Δ, Ε), (Α, Ζ, Η), (Β, Δ, Η), (Β, Ε, Ζ), (Γ, Δ, Ζ), και (Γ, Ε, Η) ο. ε. δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view, Θέμα Νο.4</b></p>
<p><b>34η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017</b></p>
<p><u><b>Σημείωση:</b></u></p>
<p><b>[⇔=Ισοδυναμεί με...]</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-83178593932324692832023-04-01T14:05:00.004-07:002023-11-26T04:22:50.630-08:00Οι Τιμές <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4Vukldi7366haIC_IMqYcajPrbiXatOeRViNZBSZiSnHgaB50q5YpwL6Dsq_66bNFuprQiIfreXj_-YsY4wYmsmloaZ7g55uqMLdDjFMUatlL75itGC84sV4BFF927ea1_xn2fS3m8CdwKMY-vgxYu6p2FZumprqYmRx1foKnv3nRkJw0NiLyy195/s58/66.%20%CE%9F%CE%B9%20%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="55" data-original-width="58" height="81" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4Vukldi7366haIC_IMqYcajPrbiXatOeRViNZBSZiSnHgaB50q5YpwL6Dsq_66bNFuprQiIfreXj_-YsY4wYmsmloaZ7g55uqMLdDjFMUatlL75itGC84sV4BFF927ea1_xn2fS3m8CdwKMY-vgxYu6p2FZumprqYmRx1foKnv3nRkJw0NiLyy195/w84-h81/66.%20%CE%9F%CE%B9%20%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF.png" width="84" /></a></div>
<p>Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast138").click(function(){
$("div.jast139").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a href="javascript:void(0)" class="jast138">Λύση</a></h4>
<div class="jast139" style="display: none;">
<p>Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ, έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
(Ο αριθμός «Δ» λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός «δ» λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός «π» λέγεται πηλίκο και ο αριθμός «υ» λέγεται υπόλοιπο της διαίρεσης.)</p>
<p>x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)</p>
<p>x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)</p>
<p>Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε</p>
<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqnApA3ui5bXR7jNf5tOMKrq2witJAuTUWxsIv98XgvQRNUqJxMEd1S1EJsvRkhu7GvKhZg7cKo_yHj4EQOGVr30qTbYobn4dAvNmNjfxZd07JUjgOu3EsDxvA7By5C4zkm35b0VwkVYpIOxAQxhyNm5n6tZfwEMhcprw2Qgg7LICAI4KPMz69yfS9/s159/%CE%94.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" height="320" data-original-height="159" data-original-width="158" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqnApA3ui5bXR7jNf5tOMKrq2witJAuTUWxsIv98XgvQRNUqJxMEd1S1EJsvRkhu7GvKhZg7cKo_yHj4EQOGVr30qTbYobn4dAvNmNjfxZd07JUjgOu3EsDxvA7By5C4zkm35b0VwkVYpIOxAQxhyNm5n6tZfwEMhcprw2Qgg7LICAI4KPMz69yfS9/s320/%CE%94.png"/></a></div>
<p>Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37</p>
<p>Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74 Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη (υ<x), θα πρέπει o διαιρέτης να είναι μεγαλύτερος του 17 (x>17)</p>
<p>Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.</p>
<p><u><b><b>Πηγή:</b></b></u></p>
<p><b>http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-A200/293/2066,7182/</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-44213813897057713342023-04-01T14:01:00.001-07:002023-04-06T09:15:52.990-07:00Οι Ηλικίες <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1DkWeLFnVDB6A9Jj5BcZxGIRU6fmSXSRRYa5ufLGo_u31PiLt6vV0vU9UCU4KepgnTElp97C0gaT1lBh9qHIwjTKABlse6Jh14utpueVnLuRzmS6O70ly5_Q1dApF1OjKWHIKwl07vwstY-NLcE5QmGiqj9QD83HFcDY2KMPXyXs9RYooNk5qd9vy/s278/70.%20%CE%9F%CE%B9%20%CE%A4%CF%81%CF%8C%CF%80%CE%BF%CE%B9.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="197" data-original-width="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1DkWeLFnVDB6A9Jj5BcZxGIRU6fmSXSRRYa5ufLGo_u31PiLt6vV0vU9UCU4KepgnTElp97C0gaT1lBh9qHIwjTKABlse6Jh14utpueVnLuRzmS6O70ly5_Q1dApF1OjKWHIKwl07vwstY-NLcE5QmGiqj9QD83HFcDY2KMPXyXs9RYooNk5qd9vy/s320/70.%20%CE%9F%CE%B9%20%CE%A4%CF%81%CF%8C%CF%80%CE%BF%CE%B9.png"/></a></div>
<p>Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:</p>
<p>-«Κύριε καθηγητά, πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»</p>
<p>Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:</p>
<p>-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.»</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast136").click(function(){
$("div.jast137").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a href="javascript:void(0)" class="jast136">Λύση</a></h4>
<div class="jast137" style="display: none;">
<p>Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:</p>
<p><u><b>α)Για την ηλικία του καθηγητή:</b></u></p>
<p>(α-5)*(α+5)=1.200 (1)</p>
<p>α^2+5α -5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225</p>
<p>Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:</p>
<p>α^2=1.225 ---> sqrt[α^2]=sqrt[1.225] ---> α=35 (2)</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 ο.ε.δ.</p>
<p><u><b>β)Για την ηλικία των παιδιών του:</b></u></p>
<p>Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:</p>
<p>ω=β*β (1)</p>
<p>ω=β+β (2)</p>
<p>Από την (1) συνάγουμε ότι:</p>
<p>ω=β*β ---> ω=β^2 (3)</p>
<p>Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:</p>
<p>ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4</p>
<p>ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 ο.ε.δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-69528259558042731422023-03-22T06:53:00.008-07:002023-03-25T10:34:19.894-07:00Οι Τρόποι<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfh-nLlapQv_rRr5P4nepkoiwbmYDHpN3igxAql2E1rDCIG0gv5vlfWiUhRigX15hNj--Udnd4Cl0aoRxPuBQxwnIixQ0S4fiGNfJM5PxCWBmcEChgES9OjhNHlRZoTv9N8uhE1mCFq6PjqffBrVKB3BiZd7voqJw2MJz_mxqfPjQPQP-yiemS0LAh/s278/%CE%9F%CE%B9%20%CE%A4%CF%81%CF%8C%CF%80%CE%BF%CE%B9.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="197" data-original-width="278" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfh-nLlapQv_rRr5P4nepkoiwbmYDHpN3igxAql2E1rDCIG0gv5vlfWiUhRigX15hNj--Udnd4Cl0aoRxPuBQxwnIixQ0S4fiGNfJM5PxCWBmcEChgES9OjhNHlRZoTv9N8uhE1mCFq6PjqffBrVKB3BiZd7voqJw2MJz_mxqfPjQPQP-yiemS0LAh/w252-h179/%CE%9F%CE%B9%20%CE%A4%CF%81%CF%8C%CF%80%CE%BF%CE%B9.png" width="252" /></a></div>
<p><b>(α)</b>Υπάρχουν 12 μαθητές σε μια τάξη. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους οι μαθητές μπορούν να χωριστούν σε 3 ομάδες που περιέχουν 4 μαθητές η καθεμία;>
</p><p style="text-align: center;"><span style="color: #cc0000; font-size: large;">* </span><span style="color: #2b00fe; font-size: large;">*</span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"> </span><span style="color: #990000; font-size: large;">*</span></p>
<p></p><p><b>(β)</b> Με πόσους τρόπους μπορούν 9 μαθητές να ομαδοποιηθούν εξίσου σε τρεις ομάδες;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast134").click(function(){
$("div.jast135").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast134" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast135" style="display: none;">
<p><b>(α)</b>C(12, 4)*C(8, 4)*C(4,4)= 495*70*1/6 = 34.650/6= 5.775 τρόποι</p>
<p><u>Πηγή:</u></p>
<p><b>https://www.quora.com/There-are-12-students-in-a-class-What-is-the-number-of-ways-the-students-can-be-partitioned-into-3-teams-containing-4-students-each</b></p>
<p><b>(β)</b>C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/3! = 84×20×1/6 = 280</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>https://www.quora.com/In-how-many-ways-can-9-students-be-grouped-equally-in-three-groups</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-74125581711337064962023-03-22T06:44:00.007-07:002023-03-25T10:05:12.594-07:00Οι Αριθμοί των Σελίδων <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrP8O4LZ8NKPlUqsL4fFYl2I3MF-UmN4OR6vwbHSbObziVUdIl6A13nJnZoZ5cYTK_g0bDi3SqP7bE7dwpcmAXk4NK4VDVGnISIa73GihW6ZYmmBPyetmrg2TLAmoCZGxdQBlfYWWOQbNb-YhmmZc_uvRaQVuUogzWz_qjp6YwEhl6vyz2iiEExUEF/s269/%CE%9F%CE%B9%20%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF%20%CF%84%CF%89%CE%BD%20%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CF%89%CE%BD%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="269" data-original-width="205" height="228" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrP8O4LZ8NKPlUqsL4fFYl2I3MF-UmN4OR6vwbHSbObziVUdIl6A13nJnZoZ5cYTK_g0bDi3SqP7bE7dwpcmAXk4NK4VDVGnISIa73GihW6ZYmmBPyetmrg2TLAmoCZGxdQBlfYWWOQbNb-YhmmZc_uvRaQVuUogzWz_qjp6YwEhl6vyz2iiEExUEF/w174-h228/%CE%9F%CE%B9%20%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF%20%CF%84%CF%89%CE%BD%20%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CF%89%CE%BD%20.png" width="174" /></a></div>
<p>Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.</p>
<p>Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:</p>
<p>-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»</p>
<p>Ο καθηγητής τους απάντησε:</p>
<p>-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»</p>
<p>Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast132").click(function(){
$("div.jast133").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast132" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast133" style="display: none;">
<p>Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>α*(α+1)=506 (1)</p>
<p>α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (2)</p>
<p>x=(-1±sqrt[(1^2)-4*1*(-506)])/2*1 === x=(-1±sqrt[1+2.024])/2 === x=(-1±sqrt[2.025])/2 === x=(-1±45)/2 </p>
<p>x1=(-1+45)/2 === x1=44/2 === x1=22 Ρίζα αποδεκτή</p>
<p>x2=(-1-45)/2 === x2= -46/2 === x2= -23 Ρίζα μη αποδεκτή</p>
<p>Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:</p>
<p>α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β.</b> Α.</p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-28455680348173092462023-03-22T06:38:00.005-07:002023-03-25T09:32:14.424-07:00Τα Βιβλία<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijJCxDfDfsAG5NEDkI81UTjyhdez887ilDnoWcLwA7s3RAJqbVZERQ4Euk-flkUUrqR3GaWRQshWXsepYs2MCaXZmsq7R3Eq4-kwkQPG0MxnLCotF_Ep51P7wXnj0MoT2zjwl7-Y4cekpDjAM1DLbbUllJ6M8gPwzlo0veggQfXc7Ztj9C675T3dh1/s355/%CE%A4%CE%B1%20%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%B1.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="355" data-original-width="342" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijJCxDfDfsAG5NEDkI81UTjyhdez887ilDnoWcLwA7s3RAJqbVZERQ4Euk-flkUUrqR3GaWRQshWXsepYs2MCaXZmsq7R3Eq4-kwkQPG0MxnLCotF_Ep51P7wXnj0MoT2zjwl7-Y4cekpDjAM1DLbbUllJ6M8gPwzlo0veggQfXc7Ztj9C675T3dh1/w172-h179/%CE%A4%CE%B1%20%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%B1.png" width="172" /></a></div>
<p>Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.</p>
<p><u><b>Ζητούμενα:</b></u></p>
<p><b>(α)</b> Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.</p>
<p><b>(β)</b> Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast130").click(function(){
$("div.jast131").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast130" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast131" style="display: none;">
<p><b>(α)</b> Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.</p>
<p>χ=5ω+3=6φ-2 => 5(ω+1)=6φ => 5(ω+1-φ)=φ</p>
<p>Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:</p>
<p>90>χ=6*5κ-2>50 => 92>30κ>52 => 92/30>κ>52/30 => 3,06>κ>1,73</p>
<p><b>Συνεπώς:</b></p>
<p>κΕ{2,3}</p>
<p>Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία</p>
<p>Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία</p>
<p><b>(β)</b>Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:</p>
<p><b>(α)</b>88-3=85=17*5</p>
<p><b>(β)</b>58-3=55=11*5</p>
<p>οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία,</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view</b></p>
<p><b>Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Παράρτημα Ροδόπης - 7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-33229974977339761642023-03-20T10:14:00.006-07:002023-03-21T06:30:25.033-07:00Οι Πόντοι <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRjykf8ifwrZ6Da64H6gUpdW8CVSLKWBXtSq9jacy6FZijMvgiqh533PmGQUpWMr7u5XLlE_xbkx5QeByoUX6by7SHv-uCzFnHhyJJmQAJbX77y3ZJLH8Eubwfq56kRqpdJc_WbFK_zOgb983Ij1c6G8WMba1DW72iAf_o0Pw1KzkEydWGz547gdR6/s265/%CE%9F%CE%B9%20%CE%A0%CF%8C%CE%BD%CF%84%CE%BF%CE%B9%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="177" data-original-width="265" height="138" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRjykf8ifwrZ6Da64H6gUpdW8CVSLKWBXtSq9jacy6FZijMvgiqh533PmGQUpWMr7u5XLlE_xbkx5QeByoUX6by7SHv-uCzFnHhyJJmQAJbX77y3ZJLH8Eubwfq56kRqpdJc_WbFK_zOgb983Ij1c6G8WMba1DW72iAf_o0Pw1KzkEydWGz547gdR6/w207-h138/%CE%9F%CE%B9%20%CE%A0%CF%8C%CE%BD%CF%84%CE%BF%CE%B9%20.png" width="207" /></a></div>
<p>Στους τελευταίους τρεις αγώνες μπάσκετ ο Αλέξης σημείωσε κατά μέσο όρο 21 πόντους. Εάν στον πρώτο αγώνα, από τους τρεις, σημείωσε 22 πόντους και στον τρίτο αγώνα, από τους τρεις σημείωσε 25 πόντους, πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast128").click(function(){
$("div.jast129").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast128" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast129" style="display: none;">
<p>Ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους. Έστω «α» οι πόντοι που σημείωσε στο πρώτο αγώνα, «β» οι πόντοι που σημείωσε στο δεύτερο αγώνα, και «γ» οι πόντοι που σημείωσε στο τρίτο αγώνα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος συνάγουμε το εξής συμπέρασμα:
Οι 21 πόντοι αποτελούν τον μέσο όρο των συνολικών πόντων που σημείωσε ο Αλέξης στους τρεις τελευταίους γύρους, οπότε έχουμε την εξίσωση:<p>
<p>(α+β+γ)/3=21 (1)</p>
<p>Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» με τους δεδομένους πόντους, από την εκφώνξση του προβλήματος, που σημείωσε στον πρώτο και τρίτο αγώνα και βρίσκουμε πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις.</p>
<p>(α+β+γ)/3=21 ---> (22+β+25)/3=21 ---> (47+β)/3=21 47+β=21*3 ---> 47+β=63 ---> β=63-47 ----> β=16 (2)</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>(α+β+γ)/3=21 ----> (22+16+25)/3=21 ----> 63/3=21 ο.ε.δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>11ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός "ΠΑΙΧΝΙΔΙ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" Ε΄ και ΣΤ΄ Δημοτικού του περιοδικού "Ο ΜΙΚΡΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"
(ΣΤ΄ Δημοτικού)</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-82641945646612492542023-03-20T10:11:00.005-07:002023-03-21T06:38:58.163-07:00Οι Αριθμοί <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwiI1UbQyGzypdivHw-PVL-XdEUidsSyEkIcLCe--Ucy1SIh0__ic16xUmOGeqDIQT6GLjoIuPFfrmiv9PFltMWg1tRUGdtrTHB-jNGWA0Y14Pn8MbFZF641Xeb73jWnCWn5yuajxgmjfS8KFtSquLaoWHQ8ahRTHON4UI1PjDygDKkUllUZVQstUB/s88/%CE%A7%CF%89%CF%81%CE%AF%CF%82%20%CF%84%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="88" data-original-width="84" height="83" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwiI1UbQyGzypdivHw-PVL-XdEUidsSyEkIcLCe--Ucy1SIh0__ic16xUmOGeqDIQT6GLjoIuPFfrmiv9PFltMWg1tRUGdtrTHB-jNGWA0Y14Pn8MbFZF641Xeb73jWnCWn5yuajxgmjfS8KFtSquLaoWHQ8ahRTHON4UI1PjDygDKkUllUZVQstUB/w79-h83/%CE%A7%CF%89%CF%81%CE%AF%CF%82%20%CF%84%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF.png" width="79" /></a></div>
<p>Το γινόμενο δύο αμοιβαίων κατοπτρικών αριθμών, (όπου ο ένας προκύπτει από την αντιστροφή της σειράς των ψηφίων του άλλου), ισούται με 92.565. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;</p>
<p><u><b>Διευκρίνιση:</b></u></p>
<p><b>*</b>Παλινδρομικός ή καρκινικός, ή κατοπτρικός αριθμός καλείται ο αριθμός που δηλώνει την παλινδρομική ή καρκινική, ή κατοπτρική όμοια εκφορά του αριθμού, από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή π.χ. ο αριθμός 838 είναι παλινδρομικός ή καρκινικός ή κατοπτρικός.</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast126").click(function(){
$("div.jast127").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast126" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast127" style="display: none;">
<p>Μετατρέπουμε τον αριθμό 92.565 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι' έχουμε:</p>
<p>92565=3^2*5*11^2*17=(3*5*11)*(3*11*17)=165*561</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 2ος, πρβ.50, Σελ.37)</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-26398238949330939242023-03-20T10:06:00.007-07:002023-03-21T06:47:40.684-07:00Σκαμνιά και Πολυθρόνες <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXtkWx3RQ4Hxxv2cA-cwfz6Jf4BW8Ww9zDgY8JtHGMyUQXXdgTX5EBta3ur-z7O3mp--OuXQdjWd0WCxEo2m4nIpUynxsMg7ICgzRgvSZNRyAypSA5qdaVCqJy5RRioFxLr7vqWZmlHSaL1qVCwwVZ1MSrw8VFBI9xbRIjrAndmiD6e7IXA0zFTqlN/s250/%CE%A3%CE%BA%CE%B1%CE%BC%CE%BD%CE%B9%CE%AC%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CE%B8%CF%81%CF%8C%CE%BD%CE%B5%CF%82%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="143" data-original-width="250" height="114" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXtkWx3RQ4Hxxv2cA-cwfz6Jf4BW8Ww9zDgY8JtHGMyUQXXdgTX5EBta3ur-z7O3mp--OuXQdjWd0WCxEo2m4nIpUynxsMg7ICgzRgvSZNRyAypSA5qdaVCqJy5RRioFxLr7vqWZmlHSaL1qVCwwVZ1MSrw8VFBI9xbRIjrAndmiD6e7IXA0zFTqlN/w199-h114/%CE%A3%CE%BA%CE%B1%CE%BC%CE%BD%CE%B9%CE%AC%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CE%B8%CF%81%CF%8C%CE%BD%CE%B5%CF%82%20.png" width="199" /></a></div>
<p>Σ’ ένα δωμάτιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με τρία πόδια και μερικές πολυθρόνες. με τέσσερα πόδια. Όταν σε κάθε σκαμνί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωπος, το συνολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι 39. Πόσα σκαμνιά και πόσες πολυθρόνες υπάρχουν στο δωμάτιο;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast124").click(function(){
$("div.jast125").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast124" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast125" style="display: none;">
<p>Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Έστω «Σ» τα σκαμνιά και «Π» οι πολυθρόνες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>5Σ+6Π=39 (1)</p>
<p><b>(α)</b>Σ = Σκαμνί και Άνθρωπος= 3+2=5 πόδια.</p>
<p><b>(β)</b>Π = Πολυθρόνα και Άνθρωπος=4+2=6 πόδια.</p>
<p>5Σ+6Π=39 ---> 5Σ=39-6Π ---> Σ=(39-6Π)/5 (2)</p>
<p><u><b>Διερεύνηση:</b></u></p>
<p>Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "Π" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "Σ" είναι ο αριθμός Π=4 </p>
<p>ντικαθιστούμε τη τιμή του «Π» στη (2) κι’ έχουμε:</p>
<p>Σ=(39-6Π)/5 ---> Σ=(39-6*4)/5 ---> Σ=(39-24)/5 ---> Σ=15/5 ---> Σ=3</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>5Σ+6Π=39 ---> [(5*3)+(6*4)]=39 ---> 15+24=39 ο. ε. δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1ος, πρβ.57, Σελ.42)</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-66128674591162240782023-03-16T10:12:00.002-07:002023-03-18T12:36:45.339-07:00Δενδροφυτεία<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Xlz-OLNBHV1es8EvvpCXjOBHUqCZs9IDLyhAWxtGKTfCHLS47Mo7VLH9gkF17wV1c5GNXDPgVztL0CPQPUXeOwOhGQtuveJf6zpy1gOwrw5ChVy3IvdZZJUuW2ERLhCx6RJVWlMy506Huq2q2owbJC4wklnRNH04_t0F5OEWE82w-P3R4S0a6puY/s768/%CE%94%CE%B5%CE%BD%CE%B4%CF%81%CE%BF%CF%86%CF%85%CF%84%CE%B5%CE%AF%CE%B1.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="335" data-original-width="768" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Xlz-OLNBHV1es8EvvpCXjOBHUqCZs9IDLyhAWxtGKTfCHLS47Mo7VLH9gkF17wV1c5GNXDPgVztL0CPQPUXeOwOhGQtuveJf6zpy1gOwrw5ChVy3IvdZZJUuW2ERLhCx6RJVWlMy506Huq2q2owbJC4wklnRNH04_t0F5OEWE82w-P3R4S0a6puY/s320/%CE%94%CE%B5%CE%BD%CE%B4%CF%81%CE%BF%CF%86%CF%85%CF%84%CE%B5%CE%AF%CE%B1.png"/></a></div>
<p>Ένας αγρότης επιθυμεί να αναπτύξει μια δενδροφυτεία. Ξεκινά φτιάχνοντας ένα μύλο και φυτεύοντας δέντρα με ορθογώνιο τρόπο γύρω του, έτσι ώστε ο μύλος να είναι το κέντρο της φυτείας.</p>
<p>Ο μύλος καταλαμβάνει χώρο δύο δέντρων. Κάθε μήνα προσθέτει άλλη μία εξωτερική σειρά δέντρων όπως φαίνεται στις εικόνες.</p>
<p>Να βρεθεί:</p>
<p><b>i)</b>Πόσα δέντρα θα υπάρχουν μετά από 4 μήνες.</p>
<p><b>ii)</b>Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από 5 μήνες.
<p><b>iii)</b>Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από n μήνες.</p>
<p><b>iv)</b>Πόσο καιρό θα του πάρει για να έχει ένα δάσος με 550 δέντρα.</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast122").click(function(){
$("div.jast123").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a href="javascript:void(0)" class="jast122">Λύση</a></h4>
<div class="jast123" style="display: none;">
Μετά από 4 μήνες θα έχει 10 δένδρα. Μετά από 2 μήνες θα έχει 28 δένδρα. Μετά από τρεις μήνες θα έχει 54 δένδρα. Μετά από 4 μήνες θα έχει 88 δένδρα. Μετά από 5 μήνες θα έχει 130 δένδρά. Μετά από ν μήνες θα έχει 4ν^2+6ν δένδρα. Για να έχει 550 δένδρα χρειάζονται 11 μήνες.
<p><u><b>Πρώτος Μήνας:</b> 3*4-2=12-2=10 δένδρα.</u></p>
<p><u><b>Δεύτερος Μήνας:</b> 5*6-2=30-2=28 δένδρα.</u></p>
<p><u><b>Τρίτος Μήνας: </b>7*8-2=56-2=54 δένδρα.</u></p>
<p><u><b>Τέταρτος Μήνας:</b> 9*10-2=90-2=88 δένδρα.</u></p>
<p><u><b>Πέμπτος Μήνας:</b> 11*12-2=132-2=130 δένδρα.</u><p>
<p><b>Μετά από ν μήνες:</b> H κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2ν δέντρα, οπότε έχουμε:</p>
<p>(2ν+1)*(2ν+2)--2= 4ν^2+4ν+2ν+2-2=4ν^2+6ν δένδρα (1)</p>
<p>Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>4ν^2+6ν=550 ===> 4ν^2+6ν-550=0</p>
<p>Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:</p>
<p>4ν^2+6ν-550=0 ===> 2ν^2+3ν-275=0 (2)</p>
<p>ν=(-3±sqrt[(3^2-4*2*(-275)])/2*2</p>
<p>ν=(-3±sqrt[(9+2.200])/4</p>
<p>ν=(-3±sqrt[(2.209])/4</p>
<p>ν=(-3±47)/4</p>
<p>ν=(-3+47)/4 ===> ν=44/4 ===> ν=11 Ρίζα Αποδεκτή (3)</p>
<p>Άρα, σε 11 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u><p>
<p>4ν^2+6ν=550 ===> 4*11^2+6*11+10=550 ===> 4*121+6*11+10=550 ===> 484+66=550 ο.ε.δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>http://eisatopon.blogspot.com/2023/03/blog-post_67.html#comment-form</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com9tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-46905135835842492792023-03-16T10:06:00.004-07:002023-03-18T12:04:06.359-07:00Τα Μυρμήγκια <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6wpZro0ewz1o3uIm3-qmr0up3cIIEgCJUFjPIszR-oWwg-J3a9r6Tm2ulRxZNNJX8-SDcdNW3atMUMlHrpmszcZmbsu0eubU9mzr1FiJJUHK3f8WeGUufqF7jqs3rH3jccxn6Gm_n4IUJz7czhHBp1YDI03gAYyUL5_knZ8yKGzlABA-le3wiCUIw/s242/%CE%A4%CE%B1%20%CE%9C%CF%85%CF%81%CE%BC%CE%AE%CE%B3%CE%BA%CE%B9%CE%B1%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="162" data-original-width="242" height="154" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6wpZro0ewz1o3uIm3-qmr0up3cIIEgCJUFjPIszR-oWwg-J3a9r6Tm2ulRxZNNJX8-SDcdNW3atMUMlHrpmszcZmbsu0eubU9mzr1FiJJUHK3f8WeGUufqF7jqs3rH3jccxn6Gm_n4IUJz7czhHBp1YDI03gAYyUL5_knZ8yKGzlABA-le3wiCUIw/w230-h154/%CE%A4%CE%B1%20%CE%9C%CF%85%CF%81%CE%BC%CE%AE%CE%B3%CE%BA%CE%B9%CE%B1%20.png" width="230" /></a></div>
<p>Σε μια κοινότητα μυρμηγκιών, εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 8 μυρμηγκιών δεν περισσεύει κανένα μυρμήγκι, ενώ εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 6 ή 7 μυρμηγκιών περισσεύουν 4.μυρμήγκια. Από πόσα μυρμήγκια αποτελείται αυτή η κοινότητα, εάν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότερα από 60 και λιγότερα από 100;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast120").click(function(){
$("div.jast121").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast120" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast121" style="display: none;">
<p>Τα μυρμήγκια είναι 88. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο «Ν». Από τη σειρά των αριθμών 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:</p>
<p>Ε.Κ.Π.(6,7) =6*7=42</p>
<p>Συνεπώς ο (Ν-4) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 42:</p>
<p>(Ν-4)=42, (Ν-4)=84, (Ν-4)=126, …, (Ν-4)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο+4), δηλαδή Ν=42+4=46, Ν=84+4=88, Ν=126+4=130, …, Ν= ∞+4= ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος, διαλέγουμε το πολλα-πλάσιο που βρίσκεται μεταξύ του 60 και του 100, που είναι το 84. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι:</p>
<p>Ν=(Πολλαπλάσιο+4) ----> Ν=84+4 ---> Ν=88</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>88mod6=4 ---> 88:6=6*14+υπ.4=84+4=88</p>
<p>88mod7=4 ---> 88:7=7*12+υπ.4=84+4=88</p>
<p>88mod8=0 ---> 88:8=8*11+υπ.0=88+0=88</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>http://pieriakaterini.blogspot.gr/2017/04/o-grifos-tis-imeras-22-4-2017.html</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-25002467684605882122023-03-16T10:02:00.010-07:002023-03-18T12:06:02.096-07:00Οι Χωρικοί και τ' Αυγά <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7PWehQfaMGYPVmpPVRaLY-yiRarFzWmcVjVejgz5Kb2uYncCtbXJgNcqwQe2dqKM7fYFRnerWjzcGsh57vROp-7Y45vH2FdIEoF7fn3Jrq0kkewUgESlOIrXvWYoyihGP5_Hf_440Dss7qY0Dj3v5BskJ2nTvq_qoKTG2nPE9fG_gciAO4C30aDGn/s144/%CE%9F%CE%B9%20%CE%A7%CF%89%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%AF%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CF%84%27%20%CE%91%CF%85%CE%B3%CE%AC%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="144" data-original-width="132" height="154" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7PWehQfaMGYPVmpPVRaLY-yiRarFzWmcVjVejgz5Kb2uYncCtbXJgNcqwQe2dqKM7fYFRnerWjzcGsh57vROp-7Y45vH2FdIEoF7fn3Jrq0kkewUgESlOIrXvWYoyihGP5_Hf_440Dss7qY0Dj3v5BskJ2nTvq_qoKTG2nPE9fG_gciAO4C30aDGn/w141-h154/%CE%9F%CE%B9%20%CE%A7%CF%89%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%AF%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CF%84'%20%CE%91%CF%85%CE%B3%CE%AC%20.png" width="141" /></a></div>
<p>Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.</p>
<p>Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:</p>
<p>-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».</p>
<p>Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:</p>
<p>-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 6 και 2/3 σακιά πίτουρα».</p>
<p>Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast118").click(function(){
$("div.jast119").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast118" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast119" style="display: none;">
<p>Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:</p>
<p>α+β=100 (1)</p>
<p>Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:</p>
<p>α*x ευρώ</p>
<p>Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:</p>
<p>(100-α)*ψ ευρώ</p>
<p>Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>α*x=(100-α)*ψ (2)</p>
<p>Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)</p>
<p>Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:</p>
<p>α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)</p>
<p>Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:</p>
<p>α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α ---> 3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ</p>
<p>Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:</p>
<p>3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ ---> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 ---> 45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 ---> 25α^2+4.000α-200.000=0 </p>
<p>Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:</p>
<p>25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)</p>
<p>Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:</p>
<p>α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —> α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —></p>
<p>α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2</p>
<p>α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)</p>
<p>α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)</p>
<p>Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:</p>
<p>α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>http://omathimatikos.gr/?p=7177</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-38922742436813037592023-03-12T15:52:00.006-07:002023-03-14T14:30:31.244-07:00Πρωτάθλημα Σκακιού<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOcQn1ugRyPfEJuENtgIVC7rVAS5LPB74W9hZ00fspuciK-7hNsi6N5cb7hn_Ogo3xy6LzB-VLemiZ2uiXqyq5zHDSq9Oxrb4UUrfvphRS30yFLtRsLbVQj13y5wBOElQA8Y2sHCmUGWRyT_-V9uLWd6VcwjSLFf7T_DFKD4fP79Oell2O8e3C1saZ/s267/%CE%A0%CF%81%CF%89%CF%84%CE%AC%CE%B8%CE%BB%CE%B7%CE%BC%CE%B1%20%CE%A3%CE%BA%CE%B1%CE%BA%CE%B9%CE%BF%CF%8D.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="217" data-original-width="267" height="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOcQn1ugRyPfEJuENtgIVC7rVAS5LPB74W9hZ00fspuciK-7hNsi6N5cb7hn_Ogo3xy6LzB-VLemiZ2uiXqyq5zHDSq9Oxrb4UUrfvphRS30yFLtRsLbVQj13y5wBOElQA8Y2sHCmUGWRyT_-V9uLWd6VcwjSLFf7T_DFKD4fP79Oell2O8e3C1saZ/w209-h170/%CE%A0%CF%81%CF%89%CF%84%CE%AC%CE%B8%CE%BB%CE%B7%CE%BC%CE%B1%20%CE%A3%CE%BA%CE%B1%CE%BA%CE%B9%CE%BF%CF%8D.png" width="209" /></a></div>
<p>Δύο μαθητές δημοτικού, ταλαντούχοι στο σκάκι, έλαβαν μέρος σ’ ένα πρωτάθλημα που διοργανώθηκε στο Πανεπιστήμιο της πόλης τουςκαι ανταγωνίστηκαν με τους φοιτητές. Κάθε παίκτης που συμμετείχε στο πρωτάθλημαέπειξε με όλους τους άλλους μια μόνο παρτίδα. Με κάθε νίκη έπαιρνε ένα βαθμό, με κάθε ισοπαλία έπαιρνε μισό βαθμό, ενώ στην περίπτωση της ήττας ο παίκτης δεν έπαιρνε βαθμό. Όλοι οι φοιτητές είχαν στο τέλος την ίδια βαθμολογία, ενώ οι δύο μαθητές μαζί συγκέντρωσαν συνολικά 6,50 βαθμούς.
Πόσοι φοιτητές συμμετείχαν στο πρωτάθλημα σκακιού;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast116").click(function(){
$("div.jast117").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast116" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast117" style="display: none;">
<p>Αν ήταν ν φοιτητές και πήραν α βαθμούς ο καθένας (α πολλαπλάσιο του 0,5), τότε:</p>
<p>α=[(ν+1)(ν+2)/2-6,5]/ν => ν+3-11/ν=2α => ν=11, α=6,5 </p>
<p>Συμμετείχαν 11 φοιτητές.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>https://eistoapeiron.blogspot.com/2023/03/grifos-protathlima-skakiou.html</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-58246049819285357002023-03-12T15:49:00.008-07:002023-03-14T14:43:05.991-07:00Οι Κάρτες <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSxpeObWOyvuR9KliVOiNuvfZwuP_QJ9yb4Oirx8yIEiNQOLtjgG03AKWE7M_N5AfNL52ytDPuUxjWSoLqZokL_MdoRwobQacOYo-sGKhHK6v4mM5PvG4zbxv89L0kXTZkvgAPihagdfRJf6UvXAL2TGxb0ETKwoyjt7jh5gYBChoLeAAMJ6J7ZpOv/s237/%CE%9F%CE%B9%20%CE%9A%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B5%CF%82%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="178" data-original-width="237" height="124" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSxpeObWOyvuR9KliVOiNuvfZwuP_QJ9yb4Oirx8yIEiNQOLtjgG03AKWE7M_N5AfNL52ytDPuUxjWSoLqZokL_MdoRwobQacOYo-sGKhHK6v4mM5PvG4zbxv89L0kXTZkvgAPihagdfRJf6UvXAL2TGxb0ETKwoyjt7jh5gYBChoLeAAMJ6J7ZpOv/w165-h124/%CE%9F%CE%B9%20%CE%9A%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B5%CF%82%20.png" width="165" /></a></div>
<p>Ο Παναγιώτης έπαιξε από δύο παρτίδες ενός παιχνιδιού µε κάρτες, µε καθέναν από τους φίλους του Αντώνη, Δημήτρη, και Γιώργο. Πρώτα έπαιξε µε τον Αντώνη διπλασιάζοντας τις κάρτες του στην πρώτη παρτίδα, ενώ στη δεύτερη έχασε 25 κάρτες. Στη συνέχεια, παίζοντας µε το Δημήτρη, αρχικά τριπλασίασε τις κάρτες που είχε και μετά έχασε 15 κάρτες. Τέλος, στην πρώτη παρτίδα µε το Γιώργο, κέρδισε 50 κάρτες, αλλά στη δεύτερη έχασε 33. Μετά το τέλος των παρτίδων ο Παναγιώτης είχε 197 κάρτες. Με πόσες κάρτες ξεκίνησε να παίζει;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast114").click(function(){
$("div.jast115").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast114" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast115" style="display: none;">
<p>Ο Παναγιώτης ξεκίνησε να παίζει με 45 κάρτες. Έστω «x» οι κάρτες που είχε στην αρχή ο Παναγιώτης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:</p>
<p><u>α)<b>Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:</b></u></p>
<p>Διπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη:2χ.</p>
<p><u>β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:</u></p>
<p>Ο Παναγιώτης χάνει 25 κάρτες:(2χ-25).</p>
<p><u><b>α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρης:</b></u></p>
<p>Τριπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη που είχε μετά τη δεύτερη παρτίδα με τον Αντώνη:3*(2χ-25).</p>
<p><u><b>β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρη:</b></u></p>
<p>Ο Παναγιώτης χάνει 15 κάρτες: [3*(2χ-25)-15]</p>
<p><u><b>α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:</b></u></p>
<p>Ο Παναγιώτης κερδίζει 50 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50]</p>
<p><u>β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:</u></p>
<p>Ο Παναγιώτης χάνει 33 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50-33].</p>
<p>Μετά τ’ ανωτέρω αποτελέσματα είχε 197 κάρτες, οπότε έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> 6x-75 -15+50-33=197 --> 6x=197+75+15-50+33 --> 6x=320-50 --> 6x=270 --> x=270/6 --> x=45</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> [[3*(2*45)-25]-15+50-33]=197 -->[[(3*(90-25]-15+50-33]=197 --> [(3*65)-15+50-33]=197 -->
195-15+50-33=197</p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-50991117061114636332023-03-10T12:11:00.005-08:002023-03-12T11:01:58.177-07:00Ο Βαθμός <div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRSgBUamilRdxpefwsFaqbf7tR2-MWNEo2IkJgoLP5QSbiT-DXf5ERC0ntkVoDTLRS730KXl3YLZVXfFZu95H0kmbnOQvUEqtJIld8WhwNzLYWtYTUYLXAWrZV7C29AcEfpqB3vSQk9oHdkOusBHweW1dy1XZ2gS3TeRqxUwkVS1LUZKxu50D9S_lX/s204/%CE%9F%20%CE%92%CE%B1%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82%20.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="180" data-original-width="204" height="182" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRSgBUamilRdxpefwsFaqbf7tR2-MWNEo2IkJgoLP5QSbiT-DXf5ERC0ntkVoDTLRS730KXl3YLZVXfFZu95H0kmbnOQvUEqtJIld8WhwNzLYWtYTUYLXAWrZV7C29AcEfpqB3vSQk9oHdkOusBHweW1dy1XZ2gS3TeRqxUwkVS1LUZKxu50D9S_lX/w206-h182/%CE%9F%20%CE%92%CE%B1%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82%20.png" width="206" /></a></div>
<p>Ο Κώστας στο μάθημα των μαθηματικών θα διαγωνιστεί σε τέσσερα διαγωνίσματα των 100 βαθμών το καθένα. Έθεσε ως στόχο να συγκεντρώσει μέσο όρο τουλάχιστον 95 βαθμούς. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα συγκέντρωσε 97 μονάδες στο πρώτο και 91 μονάδες στο δεύτερο. Όταν είδε το βαθμό του τρίτου διαγωνίσματος επιβεβαιώθηκε ότι υπήρχαν ακόμα περιθώρια για να φτάσει στο στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3ου διαγωνίσματος;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast112").click(function(){
$("div.jast113").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast112" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast113" style="display: none;">
<p>Ο πιο χαμηλός βαθμός του τρίτου διαγωνίσματος πρέπει να είναι 92 μονάδες.</p>
<p>Το άθροισμα όλων των γραπτών πρέπει να είναι:</p>
<p>95*4=380 μονάδες.</p>
<p>Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει: 380−97−91=192 μονάδες.</p>
<p>Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι:</p>
<p>192−100=92 μονάδες.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία για Α΄ Γυμνασίου 2013-2014</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2113361719046057292.post-21834291622402195402023-03-10T12:07:00.007-08:002023-03-12T10:56:01.830-07:00Οι Ηλικίες<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwqdc_8NctJ6I-QF9hTxvKdyQE487NC6Qmc-6Yamoy5J9NApTO5tfiq-Eb3Ud4V_FOEfFACdS54K-3-0_GwUj-l7zgk2znTCo_kR-qjWQVXla7h_5-XfT1DwsrbZELScV6j6s-byMTZZJDRAi_NT_49s4GxULIzBiogDS8WoLUZ7MYrClTlHhHlCG3/s300/%CE%A4%CE%BF%20%CE%93%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF%20%CF%84%CF%89%CE%BD%20%CE%97%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%8E%CE%BD%20%CE%99%CE%99.png" style="display: block; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="189" data-original-width="300" height="128" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwqdc_8NctJ6I-QF9hTxvKdyQE487NC6Qmc-6Yamoy5J9NApTO5tfiq-Eb3Ud4V_FOEfFACdS54K-3-0_GwUj-l7zgk2znTCo_kR-qjWQVXla7h_5-XfT1DwsrbZELScV6j6s-byMTZZJDRAi_NT_49s4GxULIzBiogDS8WoLUZ7MYrClTlHhHlCG3/w203-h128/%CE%A4%CE%BF%20%CE%93%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF%20%CF%84%CF%89%CE%BD%20%CE%97%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%8E%CE%BD%20%CE%99%CE%99.png" width="203" /></a></div>
<p>Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με <b>41.041.</b></p>
Να βρεθούν:
<p><span style="color: red;"><b>(α)</b> </span>Οι ηλικίες των παιδιών.</p>
<p><b><span style="color: red;">(β)</span></b> Η ηλικία της μητέρας.</p>
<p><b><span style="color: red;">(γ)</span></b> Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;</p>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.6.1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(document).ready(function(){
$("a.jast110").click(function(){
$("div.jast111").toggle (1000);
});
});
</script>
<h4><a class="jast110" href="javascript:void(0)">Λύση</a></h4>
<div class="jast111" style="display: none;">
<p>Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:</p>
<p>41.041=7*11*13*41</p>
<p>Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:</p>
<p><b>(α)</b> 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.</p>
<p><b>(β)</b>Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.</p>
<p><b>(γ)</b> Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.</p>
<p>Πριν «y» χρόνια ήταν:</p>
<p>Ηλικία μητέρας: (41–y)</p>
<p>Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.</p>
<p>Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:</p>
<p>(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)</p>
<p>(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001</p>
<p>y^3–31*y^2+310*y–960=0</p>
<p>(y–6)*(y^2–25*y+160)=0</p>
<p>(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)</p>
<p>Άρα: y=6</p>
<p>Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>Πριν 6 χρόνια ήταν:</p>
<p>Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών</p>
<p>Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα, και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35</p>
<p><u><b>Επαλήθευση:</b></u></p>
<p>(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k</b>/view</p>
<p><u><b>Πηγή:</b></u></p>
<p><b>5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016</b></p>
</div>
PAPAVERI48http://www.blogger.com/profile/00315968073057501038noreply@blogger.com2