Νέο Έτος 2023!!

Εύχομαι στους φίλους της ιστοσελίδας:

Χ Ρ Ο Ν Ι Α Π Ο Λ Λ Α!!

Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ ΤΟ ΝΕΟ ΕΤΟΣ 2023!!

* * * * * * *

H A P P Y N E W Y E A R 2023!!

Η Πιθανότητα 1

Στην πιτσαρία «Il Gusto»,όλες οι πίτσες έχουν τυρί και σάλτσα ντομάτας.

Υλικά που μπορούν να επιλεγούν επιπλέον είναι:

Mαύρες ελιές, αντσούγιες, και λουκάνικο.

Από τους 200 πελάτες που πήραν πίτσα την χθεσινή μέρα από την πιτσαρία επέλεξαν τα εξής υλικά:

Oι 40 να βάλουν αντσούγιες στην πίτσα τους.

Oι 80 να βάλουν μαύρες ελιές.

Oι 120 να βάλουν λουκάνικο.

Kαι οι 60 να βάλουν μαύρες ελιές και λουκάνικο.

Kανένας δεν επέλεξε να βάλει στην πίτσα του μαύρες ελιές με αντσούγιες ή αντσούγιες μαζί με λουκάνικο.

Αν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους 200 πελάτες,ποια είναι η πιθανότητα να αγόρασε πίτσα με τυρί και σάλτσα ντομάτας;

Λύση

Έστω «y» ο αριθμός των πελατών που έβαλαν ένα τουλάχιστον επιπλέον υλικό από τα 3 (μαύρες ελιές, αντσούγιες, λουκάνικο) τότε από την υπόθεση θα ισχύει y=40+x , όπου «x» ο αριθμός των πελατών που έβαλαν μαύρες ελιές ή λουκάνικο( ή και τα δυο). Υπάρχουν 60 πελάτες που επέλεξαν μαύρες ελιές και λουκάνικο, έτσι 20=80-60 επέλεξαν μαύρες ελιές και τίποτα άλλο. Ανάλογα, 60=120-60 πελάτες έβαλαν λουκάνικο και τίποτα άλλο. Οπότε,y=40+x=40+(20+60+60)=180, άρα ο αριθμός των πελατών που δεν έβαλαν κανένα από τα 3 υλικά ( μαύρες ελιές, λουκάνικο και αντσούγιες) είναι 200-y=20 ---> 200-180=20. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 20/200=0,10 ή 10%

Το παρακάτω διάγραμμα Venn δίνει την λύση πολύ πιο εύληπτα.

Και η λύση του αείμνηστου Ευθύμιου Αλεξίου:

200=Χ(τυρί+σάλτσα ντομάτας)+40(+αντζούγια)+80(+μ. ελιές)+120(+λουκάνικο)-60(μ. ελιές+λουκάνικο)-0(μ. ελιές+αντζούγιες)-0(αντζούγιες+λουκάνικο)+ 0(ελιές+αντζούγιες+λουκάνικο) ---> Χ=20 ---> Π=20/200=0.10

Πηγη: http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/09/yogi-berra.html

Χριστούγεννα 2022!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri48a εύχεται σε όλους:

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και 

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Οι Πτήσεις

Τις τέσσερις πρώτες πτήσεις που έγιναν με διπλάνο, τις έκαναν δύο αδέλφια. Ο πρώτος, πέταξε 37μέτρα την πρώτη φορά και 179μέτρα τη δεύτερη. Ο αδελφός του, πέταξε 116μέτρα τη πρώτη φορά και 290μέτρα τη δεύτερη. Χρησιμοποιώντας το μέσο όρο των αποστάσεων που πέταξαν και τα δύο αδέλφια, στις τέσσερις πτήσεις που έκαναν εκείνη την ημέρα, πόσες πτήσεις έπρεπε να κάνουν, αν ήθελαν να διανύσουν το γύρο του κόσμου;

Διευκρίνιση:

Η περίμετρος του Ισημερινού είναι 40.077χιλιόμετρα.

Σημείωση:

Το πρόβλημα αναφέρεται στους δύο πρωτοπόρους εφευρέτες του αεροπλάνου αδελφούς Ράϊτ (Orville και Wilbur Wright). Το διπλάνο τους «Flyer» έφερε κινητήρα 12 ίππων που κινούσε δύο έλικες. Η πτήση εκτελέστηκε με τέσσερις δοκιμές, διάρκειας 12, 13, 15 και 59 δευτερολέπτων. Κατά την τελευταία διανύθηκε απόσταση 260 μέτρων.

Λύση

Συνολικά μέτρα πτήσεων:

37+179+116+290=622μέτρα

Μετατρέπουμε τα μέτρα σε χιλιόμετρα κι’ έχουμε:

622:1.000=0,622χιλιόμετρα

Μέσος Όρος (Μ.Ο.)=0,622:4=0,1555χιλιόμετρα

Συνολικές πτήσεις που έπρεπε να κάνουν για το γύρο της Γης:

40.077:0,1555=257.729,90353697749196141479099678 πτήσεις ---> ≈ 257.730 πτήσεις.

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/08/blog-post_56.html

Οι Βώλοι

Διαθέτουμε 4 σωρούς από βώλους, όπου κάθε σωρός αποτελείται από 6, 8, 8, και 9 βώλους αντίστοιχα. Πέντε παίχτες που τους συμβολίζουμε 1, 2, 3, 4, και 5 αντίστοιχα παίζουν σε διαδοχικούς γύρους με αυτήν την σειρά. Σε κάθε γύρο διαλέγουν ένα σωρό από βώλους και τον χωρίζουν σε δυο μικρότερους. Χαμένος είναι ο παίκτης που δεν θα μπορεί να χωρίσει το σωρό σε δύο μικρότερους σωρούς. Υπάρχει στρατηγική για τον νικητή;

Λύση

Το άθροισμα των βόλων είναι 6+8+8+9=31, έχουμε 4 σωρούς και σε κάθε γύρο το πλήθος των σωρών αυξάνει κατά 1 .Άρα πρόκειται να πραγματοποιηθούν 31-4=27 γύροι .Οι παίκτες παίζουν με την σειρά 1, 2, 3, 4, και 5 οπότε αν διαιρέσουμε το 27 με το 5 μένει υπόλοιπο 2. Άρα ο 2ος είναι ο τελευταίος παίκτης που θα μπορέσει να χωρίσει το σωρό σε δύο μικρότερους σωρούς, οπότε ο παίκτης 3 χάνει!!

(Από μαθηματικό διαγωνισμό στη Σιγκαπούρη το 2006)

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/09/yogi-berra.html

Η Ηλικία

Η κυρία Ζωή έχει τρία ανίψια την Άννα, 11 ετών, την Βούλα, 21 ετών, και τον Βαγγέλη, 27 ετών. Πόσο χρονών είναι η κυρία Ζωή;

Λύση

Η κυρία Ζωή είναι 67 ετών. Η ηλικία προκύπτει από την αριθμητική αξία του πρώτου και του τελευταίου γράμματος κάθε ονόματος.

ΖωΗ ---> 6ω7 ---> 67 ετών.

ΑννΑ ---> 1νν1 ---> 11 ετών.

ΒούλΑ ---> 2ουλ1 ---> 21 ετών.

ΒαγγελΗ ---> 2αγγελ7 ---> 27 ετών.

Πηγή: http://www.grifoi.gr/ta-tria-anipsia/

Η Ισότητα

 

Πως είναι δυνατόν το άθροισμα (10+4) να ισούται με 2;

Λύση

Οι αριθμοί παριστάνουν μονάδες χρόνου. Οπότε έχουμε:

10π.μ. + 4 ώρες = 2 μ.μ. (14)

10μ.μ. + 4ώρες = 2π.μ.

Πηγή: http://dailybrainteaser.blogspot.gr/2013_08_01_archive.html

Το Κόστος

Μία εικόνα του Ιωάννη Καποδίστρια κοστίζει 20 λεπτά, μία εικόνα του Ελευθέριου Βενιζέλου κοστίζει 50 λεπτά. Πόσο κοστίζει μία εικόνα του Ρήγα Φεραίου και γιατί;

Λύση

Δείτε την εικόνα κατωτέρω.

Μια εικόνα του Ρήγα κοστίζει 10 λεπτά, διότι στο δεκάλεπτο ελληνικό νόμισμα απεικονίζεται ο Ρήγας Φεραίος, στο 20λεπτο ελληνικό νόμισμα απεικονίζεται ο Ιωάννης Καποδίστριας και στο 50λεπτο ελληνικό νόμισμα απεικονίζεται ο Ελευθέριος Βενιζέλος.

Πηγή: http://www.grifoi.gr/poso-kostizi-mia-ikona/

Οι Εκλογές

Σε ένα παράλληλο ιδεατό σύμπαν γίνονται εκλογές. Οι πρόεδροι τριών μικρών κομμάτων ερίζουν για τις ψήφους των κατοίκων του χωριού Κάτω Μηλιά. Είθισται, ο καθένας τους σε τέτοιες περιπτώσεις να διαθέτει ένα χρηματικό ποσό ως «παροχή» για να εξασφαλίσει τις ψήφους των κατοίκων. Ο Α διαθέτει 724€ (καταξοδεύτηκε!), ο Β διαθέτει 857€ και ο Γ διαθέτει 1.503€ (γαλαντονόμος!!).

Ο Α Πρόεδρος, λέει:

-«Αν μοιράσω εξίσου τα χρήματα στις οικογένειες του χωριού και η καθεμία λάβει ακέραιο αριθμό ευρώ τότε θα μου περισσέψουν μερικά ευρώ.»

Ο Β Πρόεδρος, ο οποίος ξέρει πόσες είναι οι οικογένειες, κάνει τον υπολογισμό λέει στον «Α»:

-«Εάν προσθέσω τα ευρώ που σου περισσεύουν στα δικά μου μπορώ να μοιράσω τα χρήματα εξίσου στις οικογένειες του χωριού και να μην περισσέψει κανένα ευρώ.»

Ο Γ Πρόεδρος, λέει στον «Β»:

-«Το ίδιο ακριβώς θα μπορούσε να γίνει και στην δική μου περίπτωση.»

Πόσες οικογένειες ζουν στο χωριό Κάτω Μηλιά;

Λύση

Στο χωριό Κάτω Μηλιά ζουν 17 οικογένειες. Έστω «α» το πλήθος των οικογενειών που ζουν στην Κάτω Μηλιά, «λ», «μ» και «ν» τα πηλίκα και «υ» τα υπόλοιπα. Από την υπόθεση έχουμε:

724=αλ+υ (1)

857+υ=αμ (2)

1.503+υ=αν (3)

Όπου, α, λ, μ, ν, και υ θετικοί ακέραιοι.

Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη κι’ έχουμε:

724=αλ+υ

857+υ=αμ

857+724+υ=αλ+αμ+υ ---> 857+724 =αλ+αμ+υ-υ ---> 1.581 =α(λ+μ) (4)

Μετατρέπουμε το 1.581 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:

1.581=3*17*31 (5)

Αντικαθιστούμε τη (5) στη (4) κι’ έχουμε:

1.581 =α(λ+μ) ---> 3*17*31=α(λ+μ) (6)

Προσθέτουμε τις (1) και (3) κατά μέλη κι’ έχουμε:

724=αλ+υ

1.503+υ=αν

724+1.503+υ=αλ+αν+υ ---> 724+1.503= αλ+αν+υ-υ --->2.227=α(λ+ν) (7)

Μετατρέπουμε το 2.227 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:

2.227=17*131 (8)

Αντικαθιστούμε την (8) στην (7) κι’ έχουμε:

2.227=α(λ+ν) ---> 17*131=α(λ+ν) (9)

Από τις (6) και (9) προκύπτει ότι α = 17 (10) αφού ο 17 είναι ο μοναδικός ακέραιος αριθμός που διαιρεί ταυτόχρονα τα γινόμενα (3*17*31) και (17*131)

(3*17*31)/17=1.581/17=93

(17*131)/17=2.227/17=131

(Α)724=αλ+υ ---> 724-υ=αλ ---> λ=(724-υ)/α (11)

Διερεύνηση:

Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "υ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "λ" είναι ο αριθμός υ=10

Αντικαθιστούμε τη τιμή του "υ" στη (11) κι’ έχουμε:

λ=(724-υ)/α ---> λ=(724-10)/17 ---> λ=714/17 ---> λ=42 (12)

(Β)857+υ=αμ ---> μ=(857+υ)/α ---> μ=(857+10)/17 ---> μ=867/17 ---> μ=51 (13)

(Γ)1.503+υ=αν ---> ν=(1.503+υ)/α ---> ν=(1.503+10)/17 ---> ν=1.513/17 ---> ν=89 (14)

Πηγή:

http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/09/blog-post_16.html

Το Αποτέλεσμα

Θέλουμε να αφαιρέσουμε τον αριθμό 357 από τον αριθμό 439. Αφαιρούμε τον αριθμό 357 από τον αριθμό 999 και στη διαφορά προσθέτουμε τον αριθμό 439. Από τον αριθμό που προκύπτει από το άθροισμα μετακινούμε τον αριθμό 1 από τη θέση των χιλιάδων και τον προσθέτουμε στις μονάδες και έχουμε το αποτέλεσμα. Είναι σωστό ή όχι; Και γιατί;

Λύση

Είναι σωστό. Διότι η σειρά των πράξεων στη δεύτερη πρόταση του γρίφου (999-357+439) με μια απλή αλλαγή στη σειρά των όρων ισούται με 999+439-357. Δηλαδή 999-357+439=999+439-357. Με μια απλή παρένθεση αυτό γίνεται 999-357+439=999+(439-57). Οι όροι στην παρένθεση δεν είναι τίποτε άλλο παρά η ζητούμενη πράξη της πρώτης πρότασης του γρίφου "Θέλουμε να αφαιρέσουμε 357 από τον 439". 439-357=82. Άρα η δεύτερη πρόταση κατ' ουσίαν ζητά να προσθέσεις τη σχεδόν χιλιάδα (999) στο 82, δηλαδή 999+82=1081. Η τρίτη πρόταση ουσιαστικά ζητάει να αφαιρέσουμε αυτή τη φορά το 999 από το 1081, το αποτέλεσμα της δεύτερης πρότασης. Δηλαδή η πρώτη πρόταση μας παράγει ένα απλό υπόλοιπο. Η δεύτερη πρόταση παράγει ένα άθροισμα του πρώτου υπολοίπου με το 999. Και η τρίτη πρόταση ζητάει την αναίρεση της δεύτερης πρότασης μέσω της αφαίρεσης του 999 που προηγουμένως προστέθηκε. Κατ' ουσίαν ο γρίφος δίνει έναν αριθμό στην πρώτη πρόταση, του προσθέτει κάτι στη δεύτερη το οποίο αφαιρεί αυτούσιο στην τρίτη για να επιστρέψει στο αρχικό ζητούμενο της πρώτης πρότασης. Ο αλγόριθμος που ακολουθήθηκε δηλαδή ήταν του τύπου ζητούμενο--> ζητούμενο+Χ-->Ζητούμενο+Χ-Χ. Οπότε ο γρίφος λύθηκε.

Ή

999-1000+1=0 και μένει το +439-357

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2014/09/blog-post_836.html#comment-form

Η Ταχύτητα

 

Δύο ποδηλάτες, ο Ανδρέας και ο Βασίλης, βρίσκονται σε απόσταση 344χιλιόμετρα μεταξύ τους. Ξεκινούν την ίδια ώρα και κινούνται ο ένας προς τον άλλο με σταθερή ταχύτητα και συναντιούνται σε 4 ώρες. Εάν ο Βασίλης ξεκινούσε 15 λεπτά μετά τον Ανδρέα, σε 4 ώρες, από την ώρα που ξεκίνησε ο Ανδρέας, θα βρίσκονταν σε απόσταση 10χιλιομέτρων. Να βρείτε τις ταχύτητες των δύο ποδηλατών.

Λύση

Η ταχύτητα των δύο ποδηλατών είναι Βασίλης 40χλμ και Ανδρέας 46χλμ. Εάν ο Βασίλης ξεκινούσε 15 λεπτά μετά τον Ανδρέα, θα βρίσκονταν σε απόσταση 10χλμ, οπότε η ταχύτητα του Βασίλη είναι:

Κατάταξη:

Ο Βασίλης σε 15λ καλύπτει απόσταση 10χλμ.

Σε 60λ πόση απόσταση (χ;) καλύπτει;

χ=(60*10)/15 ---> χ=600/15 ---> χ=40χλμ.

Εάν ξεκινούσαν μαζί θα συναντιούνταν μαζί σε 4 ώρες οπότε ο Βασίλης θα κάλυπτε απόσταση 4*40 =160χλμ. και ο Αντρέας θα κάλυπτε απόσταση 344-160=184χλμ. Έτσι η ταχύτητα του Ανδρέα είναι 184:4=46χλμ. και του Βασίλη 40χλμ.

Πηγή:

http://www.cms.org.cy/assets/files/Pagkiprios%202013/Pagkiprios%20St%20Demotikou%202013%20Liseis.pdf

Μία Εξίσωση, Δύο Άγνωστοι

Να βρείτε τους ακεραίους x, και y, εάν ισχύει: 8^x+4^y=513.

Λύση

(α) Καταρχάς, ας παρατηρήσουμε ότι κανένας εκ των «x», και «y» δεν

μπορεί να είναι αρνητικός. Αυτό γίνεται φανερό αν θυμηθούμε ότι:

α^(-ν)=1/α^ν

Π.χ. 8^(−3) =1/8^3 που δεν είναι ακέραιος. Άρα δεν γίνεται ΜΟΝΟ ο

«x» ή ΜΟΝΟ ο «y» να είναι αρνητικός, αφού το άθροισμα 8^x+4^y

ισούται με ακέραιο.

(β) Μήπως όμως μπορεί και ο «x» και ο «y» να είναι αρνητικοί ακέραιοι;

Τότε, αν και κάθε δύναμη ξεχωριστά δίνει μη ακέραιο αποτέλεσμα,

ενδέχεται το άθροισμά τους να δίνει ακέραιο αποτέλεσμα. Πάλι μπορούμε

να δούμε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν να συμβαίνει. Ο λόγος είναι ότι αν οι

«x», «y» είναι αρνητικοί ακέραιοι, κάθε δύναμη από τις 8^x, 4^y είναι

μικρότερη από 1 και άρα δεν γίνεται το άθροισμά τους να ισούται με 513.

(γ) Ας παρατηρήσουμε τώρα ότι δεν γίνεται να είναι και ο «x» και ο «y»

θετικός ακέραιος. Αν συνέβαινε αυτό οι αριθμοί 8^x, 4^y θα ήσαν άρτιοι,

το οποίο δεν γίνεται, αφού το άθροισμά τους ισούται με έναν περιττό.

Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ένας

τουλάχιστον από τους «x», «y» ισούται με μηδέν.

(α) Εάν x=0 η σχέση γίνεται:

8^x+4^y=513 --->8^0+4^y=513 ---> 1+4^y=513 ---> 4^y=513-1 ---> 4^y=512.

Κάνοντας δοκιμές διαπιστώνουμε ότι καμία ακέραια δύναμη του τέσσερα

δεν δίνει αποτέλεσμα 512.

(β) Εάν y=0 η σχέση γίνεται:

8^x+4^y=513 --->8^x+4^0=513 ---> 8^x+1=513 ---> 8^x=513-1 ---> 8^x=512

Mε δοκιμές βρίσκουμε x=3.

Τελικά η μόνη λύση του προβλήματος είναι το ζεύγος x=3, και y=0.

Και μια λύση από τον αείμνηστο Ε. Αλεξίου

x=3, y=0

8^x+4^y=513=512+1 ==> (8^x=1, 4^y=512), ή (8^x=512, 4^y=1)

8^x=1 ==> x=0 και 4^y=512 ==>y=9/2, άτοπο

8^x=512 ==>x=3 και y=0

Πηγή:

http://users.sch.gr/anitus/01_arhiki/therina_provlimata_ 2015/3_week/therino_periodiko_32.pdf

.

H Διανομή Κτήματος

Ένας πατέρας άφησε κληρονομιά στους 4 γιους του ένα χωράφι με 4 δέντρα. Χώρισε το χωράφι σε 4 ίσα μέρη, καθένα από τα οποία περιλαμβάνει μόνο ένα δέντρο, χωρίς μάλιστα να μείνει κανένα τμήμα του χωραφιού ανεκμετάλλευτο. Πώς χώρισε το χωράφι;

Λύση

Δείτε την εικόνα κατωτέρω.

1ος Γιος: Από τη σειρά «Δ» τα τρία τετράγωνα με το δένδρο, από αριστερά προς τα δεξια, και το τρίτο τετράγωνο, από αριστερά προς τα δεξιά, από τη σειρά «Γ»

2ος Γιος: Από τη σειρά «Γ» τα δύο τετράγωνα με το δένδρο, από αριστερά προς τα δεξια, και τα δύο τετράγωνα, από κατω προς τα επάνω, της στήλης 1.

3ος Γιος: Από τη σειρα «Β» το δεύτερο τετράγωνο με το δένδρο, από αριστερά προς τα δξιά. Από τη σειρά «Α» τα τρία τετράγωνα, 2,3, και 4, από αριστερά προς τα δεξιά.

4ος Γιος: Από τη στήλη 4 τα τρία τετράγωνα με το δένδρο, από πάνω προς τα κάτω. Από τη σειρά «Β» το τρίτο τετράγωνο από αριστερά προς τα δεξιά.