Δενδροφυτεία

Ένας αγρότης επιθυμεί να αναπτύξει μια δενδροφυτεία. Ξεκινά φτιάχνοντας ένα μύλο και φυτεύοντας δέντρα με ορθογώνιο τρόπο γύρω του, έτσι ώστε ο μύλος να είναι το κέντρο της φυτείας.

Ο μύλος καταλαμβάνει χώρο δύο δέντρων. Κάθε μήνα προσθέτει άλλη μία εξωτερική σειρά δέντρων όπως φαίνεται στις εικόνες.

Να βρεθεί:

i)Πόσα δέντρα θα υπάρχουν μετά από 4 μήνες.

ii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από 5 μήνες.

iii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από n μήνες.

iv)Πόσο καιρό θα του πάρει για να έχει ένα δάσος με 550 δέντρα.

Λύση

Μετά από 4 μήνες θα έχει 10 δένδρα. Μετά από 2 μήνες θα έχει 28 δένδρα. Μετά από τρεις μήνες θα έχει 54 δένδρα. Μετά από 4 μήνες θα έχει 88 δένδρα. Μετά από 5 μήνες θα έχει 130 δένδρά. Μετά από ν μήνες θα έχει 4ν^2+6ν δένδρα. Για να έχει 550 δένδρα χρειάζονται 11 μήνες.

Πρώτος Μήνας: 3*4-2=12-2=10 δένδρα.

Δεύτερος Μήνας: 5*6-2=30-2=28 δένδρα.

Τρίτος Μήνας: 7*8-2=56-2=54 δένδρα.

Τέταρτος Μήνας: 9*10-2=90-2=88 δένδρα.

Πέμπτος Μήνας: 11*12-2=132-2=130 δένδρα.

Μετά από ν μήνες: H κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2ν δέντρα, οπότε έχουμε:

(2ν+1)*(2ν+2)--2= 4ν^2+4ν+2ν+2-2=4ν^2+6ν δένδρα (1)

Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:

4ν^2+6ν=550 ===> 4ν^2+6ν-550=0

Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:

4ν^2+6ν-550=0 ===> 2ν^2+3ν-275=0 (2)

ν=(-3±sqrt[(3^2-4*2*(-275)])/2*2

ν=(-3±sqrt[(9+2.200])/4

ν=(-3±sqrt[(2.209])/4

ν=(-3±47)/4

ν=(-3+47)/4 ===> ν=44/4 ===> ν=11 Ρίζα Αποδεκτή (3)

Άρα, σε 11 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.

Επαλήθευση:

4ν^2+6ν=550 ===> 4*11^2+6*11+10=550 ===> 4*121+6*11+10=550 ===> 484+66=550 ο.ε.δ.

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2023/03/blog-post_67.html#comment-form

Τα Μυρμήγκια

Σε μια κοινότητα μυρμηγκιών, εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 8 μυρμηγκιών δεν περισσεύει κανένα μυρμήγκι, ενώ εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 6 ή 7 μυρμηγκιών περισσεύουν 4.μυρμήγκια. Από πόσα μυρμήγκια αποτελείται αυτή η κοινότητα, εάν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότερα από 60 και λιγότερα από 100;

Λύση

Τα μυρμήγκια είναι 88. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο «Ν». Από τη σειρά των αριθμών 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:

Ε.Κ.Π.(6,7) =6*7=42

Συνεπώς ο (Ν-4) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 42:

(Ν-4)=42, (Ν-4)=84, (Ν-4)=126, …, (Ν-4)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο+4), δηλαδή Ν=42+4=46, Ν=84+4=88, Ν=126+4=130, …, Ν= ∞+4= ∞. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος, διαλέγουμε το πολλα-πλάσιο που βρίσκεται μεταξύ του 60 και του 100, που είναι το 84. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι:

Ν=(Πολλαπλάσιο+4) ----> Ν=84+4 ---> Ν=88

Επαλήθευση:

88mod6=4 ---> 88:6=6*14+υπ.4=84+4=88

88mod7=4 ---> 88:7=7*12+υπ.4=84+4=88

88mod8=0 ---> 88:8=8*11+υπ.0=88+0=88

Πηγή:

http://pieriakaterini.blogspot.gr/2017/04/o-grifos-tis-imeras-22-4-2017.html

Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.

Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».

Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 6 και 2/3 σακιά πίτουρα».

Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς;

Λύση

Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α+β=100 (1)

Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:

α*x ευρώ

Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:

(100-α)*ψ ευρώ

Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:

α*x=(100-α)*ψ (2)

Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:

(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)

Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:

α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)

Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:

α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α ---> 3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ

Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:

3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ ---> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 ---> 45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 ---> 25α^2+4.000α-200.000=0

Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:

25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)

Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:

α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —> α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —>

α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2

α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)

α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)

Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:

α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)

Επαλήθευση:

α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=7177