Οι Καραμέλες I
Πέντε παιδιά μοιράζονται σε ίσες ποσότητες όλες τις καραμέλες ενός κουτιού, που το πλήθος τους είναι ένας τριψήφιος αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει το ψηφίο των δεκάδων του κατά 3 μονάδες μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων του και το ψηφίο των εκατοντάδων του διπλάσιο από το ψηφίο των δεκάδων του. Πόσες καραμέλες έχει το κουτί.
Οι Καραμέλες II
Τρία παιδιά μοιράζονται σε ίσες ποσότητες πάνω από τις μισές καραμέλες ενός κουτιού, που το πλήθος τους είναι ένας τριψήφιος αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει το ψηφίο των δεκάδων του κατά 2 μονάδες μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων του και το ψηφίο των εκατοντάδων του διπλάσιο από το ψηφίο των μονάδων του. Την άλλη μέρα, τρία άλλα παιδιά ξανακάνουν μια ίδια μοιρασιά με όλες τις καραμέλες που είχαν περισσέψει. Πόσες καραμέλες είχε αρχικά το κουτί;
Οι Καραμέλες I
Το κουτί έχει 630 καραμέλες. Το ψηφίο των μονάδων του αριθμού θα είναι 0 ή 5. Αν είναι 5 τότε το ψηφίο των δεκάδων θα είναι 5+3=8 και οι εκατοντάδες του θα είναι 2*8 = 16 άτοπο, εφόσον ο ζητούμενος αριθμός είναι τριψήφιος. Άρα το ψηφίο των μονάδων του είναι 0, των δεκάδων του 0 + 3 =3 και των εκατοντάδων του 3*2 = 6. Επομένως ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 630.
Οι Καραμέλες II
Αν Χ είναι το ψηφίο των μονάδων τότε των δεκάδων είναι Χ+2 και των εκατοντάδων 2Χ. Για να διαιρείται ο τριψήφιος με το 3 πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 3, άρα πρέπει 4Χ+2 να διαιρείται με το 3 και το Χ μπορεί να είναι το 4 ή το 1 καθώς το 2Χ πρέπει να είναι μικρότερο από 10. Οι δυνατοί τριψήφιοι είναι επομένως ο 864 και ο 231 και τα πρώτα 3 παιδιά μοιράζονται τις 864 καραμέλες και τα επόμενα τις υπόλοιπες 231. Το κουτί περιείχε λοιπόν 231+864=1.095 καραμέλες.
http://users.sch.gr/mipapagr/images/eme_diagwn_dim_st_mathpaixnidi_2016_lyseis.pdf
Για το πρώτο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω a,b,c τα ψηφία του τριψήφιου αριθμού με b=c+3 και a=2(c+3). Οπότε το a είναι άρτιος και άρα μικρότερος ή ίσος του 8, συνεπώς το c είναι μικρότερο ή ίσο του 1.Όμως, εξ ορισμού, θα πρέπει ο τριψήφιος να είναι πολλαπλάσιο του 5 και άρα μας κάνει μόνο η τιμή c=0. Συνεπώς, οι καραμέλες ήταν 630.
Για το δεύτερο.
Εξ ορισμού, το πλήθος των καραμελών είναι πολλαπλάσιο του 3.
Έστω a,b,c τα ψηφία του τριψήφιου αριθμού με b=c+2 και a=2(c+2)
Οπότε το a είναι άρτιος και άρα μικρότερος ή ίσος του 8, επομένως το c είναι μικρότερο ή ίσο του 2. Όμως, θα πρέπει το άθροισμα a+b+c να είναι πολλαπλάσιο του 3, άρα το 4c+6 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα, το 4c είναι πολλαπλάσιο του 3 και αφού ΜΚΔ (3,4)=1, έπεται ότι το c είναι πολλαπλάσιο του 3, άρα δεν ισούται με 1 ούτε με 2. Οπότε αναγκαστικά c=0 και άρα οι καραμέλες ήταν 420.
Μιχάλη, στο ΙΙ νομίζω ότι κάνεις πληκτρολογικό.🎃 Διάβασε καλύτερα την εκφώνηση..
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, Μιχάλη, το σκεπτικό σου είναι λανθασμένο. Δες το πάλι.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜιχάλη, σου δίνω προθεσμία ως τις 10 μ.μ., αλλιώς εγώ βουτάω το έπαθλο κι εσύ κοπανάς το πληκτρολόγιο..🎃
ΑπάντησηΔιαγραφήΘανάση, δώσε λίγο χρόνο επί πλέον. Αυτό ο χρόνος που του έδωσες δεν φτάνει!! 😀😀
ΑπάντησηΔιαγραφήΤου δίνω όσο χρόνο χρειάζεται μέχρι να το λύσει σωστά ή να πει 'δεν μπορώ'..😊
ΔιαγραφήΘανάση, οι πιθανές τιμές είναι 420,631,842. Θέλω να μου εξηγήσεις ποια είναι σωστή και γιατί, το πρόβλημα έχει μία ασάφεια..
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαμία από τις τιμές που δίνεις δεν είναι λύση στο ΙΙ. Αν βρίσκεις ασάφεια, ποια λες πως είναι μήπως τη λύσουμε;
ΔιαγραφήΚάρλο, στέλνω τη δική μου λύση και εμφσνισέ την αν θες, αφού ολοκληρωθούν (θετικά ελπίζω) οι προσπάθειες του Μιχάλη ή άλλων φίλων:
ΔιαγραφήΑν το ψηφίο των μονάδων του τριψήφιου αριθμού καραμελών που μοιράστηκαν τα τρία πρώτα παιδιά είναι μ, τότε το άθροισμα των τριών ψηφίων του αριθμού αυτού είναι 2μ+(μ+2)+μ=2(2μ+1) και πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3, άρα 2μ+1=3κ => μ=(3κ-1)/2 (κ ακέραιος) . Αφού όμως οι μ+2 και 2μ είναι ψηφία, μόνο οι τιμές κ=1,3 είναι δυνατές, με αντίστοιχες τιμές μ=1,4.
Για μ=1, ο τριψήφιος είναι ο 231 και για μ=4 ο 864. Μεγαλύτερος είναι ο 864, άρα τα πρώτα τρία παιδιά μοιράστηκαν 864 καραμέλες, τα δεύτερα 231 και το κουτί αρχικά είχε 864+231=1095 καραμέλες.
864,231
ΑπάντησηΔιαγραφήΘανάση, επεισοδιακός τελικά ήταν ο γρίφος με τις καραμέλες. Το βραβείο στον νικητή Θανάση !!!! 🏆🥈👍😀😀
ΑπάντησηΔιαγραφήΜιχάλη, δυστυχώς πάλι σκόνταψες.😥😥 Έφτασες κοντά στη λύση, αλλά για ένα (+) έχασες το έπαθλο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜιχάλη, παρά τις καλοπροαίρετες παροχές παράτασης χρόνου για τη λύση από τον Θανάση, τελικά δεν τα κατάφερες.😥😥
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάρλο, στο δεύτερο νόμιζα ότι το ψηφίο των εκατοντάδων είναι διπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων (βιασύνη).
ΔιαγραφήΘανάση, γιατί δεν έδωσες τη λύση και για το πρώτο;
ΑπάντησηΔιαγραφήElementary dear, live and let live..☺
Διαγραφή