Οι Τρόποι

(α)Υπάρχουν 12 μαθητές σε μια τάξη. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους οι μαθητές μπορούν να χωριστούν σε 3 ομάδες που περιέχουν 4 μαθητές η καθεμία;>

* * *

(β) Με πόσους τρόπους μπορούν 9 μαθητές να ομαδοποιηθούν εξίσου σε τρεις ομάδες;

Λύση

(α)C(12, 4)*C(8, 4)*C(4,4)= 495*70*1/6 = 34.650/6= 5.775 τρόποι

Πηγή:

https://www.quora.com/There-are-12-students-in-a-class-What-is-the-number-of-ways-the-students-can-be-partitioned-into-3-teams-containing-4-students-each

(β)C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/3! = 84×20×1/6 = 280

Πηγή:

https://www.quora.com/In-how-many-ways-can-9-students-be-grouped-equally-in-three-groups

Οι Αριθμοί των Σελίδων

Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.

Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:

-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»

Ο καθηγητής τους απάντησε:

-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»

Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;

Λύση

Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

α*(α+1)=506 (1)

α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (2)

x=(-1±sqrt[(1^2)-4*1*(-506)])/2*1 === x=(-1±sqrt[1+2.024])/2 === x=(-1±sqrt[2.025])/2 === x=(-1±45)/2

x1=(-1+45)/2 === x1=44/2 === x1=22 Ρίζα αποδεκτή

x2=(-1-45)/2 === x2= -46/2 === x2= -23 Ρίζα μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:

α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Τα Βιβλία

Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.

Ζητούμενα:

(α) Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.

(β) Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι;

Λύση

(α) Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.

χ=5ω+3=6φ-2 => 5(ω+1)=6φ => 5(ω+1-φ)=φ

Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:

90>χ=6*5κ-2>50 => 92>30κ>52 => 92/30>κ>52/30 => 3,06>κ>1,73

Συνεπώς:

κΕ{2,3}

Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία

Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία

(β)Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:

(α)88-3=85=17*5

(β)58-3=55=11*5

οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία,

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Παράρτημα Ροδόπης - 7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016