Κυλιόμενη Σκάλα

Όταν ο καθηγητής Stanislaw Slapenarski, Πολωνός μαθηματικός, κατεβαίνει μία κυλιόμενη σκάλα φτάνει κάτω, αφού έχει πατήσει 50 σκαλιά. Στη συνέχεια ανεβαίνει ένα ένα τα σκαλιά αλλά πιο γρήγορα και φτάνει πάνω αφού έχει πατήσει 125 σκαλιά. Αν υποθέσουμε ότι ανέβηκε 5 φορές πιο γρήγορα από ότι κατέβηκε (δηλαδή έκανε πέντε βήματα για κάθε ένα βήμα πριν) και ότι η η ταχύτητα του σε κάθε μία από τις διαδρομές του ήταν σταθερή, τότε πόσα σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει?

Λύση

Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα πάνω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα κάτω απλά θα βγει x<0).

Για να ανέβει ο καθηγητής θέλει: 50/1=50 δευτερόλεπτα.

Για να κατέβει ο καθηγητής θέλει:125/5=25 δευτερόλεπτα.

Στο ανέβασμα:

50+50x=μ

(50 σκαλοπάτια ο καθηγητής και 50x σκαλοπάτια λόγω κίνησης της σκάλας ίσον «μ» συνολικός αριθμός σκαλοπατιών της σκάλας)

Στο κατέβασμα:

125-25x=μ

άρα 50+50x=μ ===> 50+50x=125-25x ===> 50x+25x=125–50 ===> 75x=75 ===> x=75/75 ===> x=1

άρα 125-25x=μ ===> 125–25*1=μ ===> 125–25=μ ===> μ=100 σκαλιά

Πρόβλημα του Martin Gardner

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-ost_5858.html#comment-form

Οι Δρομείς

Στην φάρμα «Μπάρμπα-Μήτσος» μια φορά το χρόνο διοργανώνονται αγώνες δρόμου «Τα Kαρδάρεια» με συμβολικό έπαθλο μια καρδάρα γάλα. Στα «Kαρδάρεια» λαμβάνουν μέρος όλοι οι δρομείς των γύρω χωριών. Στο αγώνα που έγινε την προηγούμενη Κυριακή, ο Παπαδόπουλος τερμάτισε στην μεσαία θέση της κατάταξης, ο Γεωργίου κατετάγει στην δέκατη θέση και είναι γνωστό ότι ο Παπαδόπουλος τον ξεπέρασε ενώ ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος. Πόσοι δρομείς έλαβαν μέρος;

Λύση

Έστω ν ο αύξων αριθμός της μεσαίας θέσης της κατάταξης τοτε οι δρομεις που τερματισαν πριν από το Παπαδόπουλο είναι:

(ν-1)

Και οι δρομείς που τερμάτισαν μετά από τον Παπαδόπουλο είναι επίσης:

(ν-1)

Έτσι προκύπτει ότι το σύνολο των δρομέων είναι:

(ν-1)+(ν-1)+1=2ν-1

Και προφανώς είναι περιττός αριθμός.

Απο υπόθεση ισχύει ότι:

ν<10 ή 2ν<20 ή 2ν-1<19.

Εξ ορισμού ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος.

Άρα:

2ν-1>=16 ===> 2ν>=16+1 ===> 2ν>=17

Ο μοναδικός περιττός ανάμεσα στο 16 και το 19 είναι ο 17.

Άρα έλαβαν μέρος 17 δρομείς.

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2014/12/n-gauss-large.html#more