Τα Ζεύγη

Πόσα ζεύγη πρώτων αριθμών έχουν άθροισμα 825;

Α.0, Β.1, Γ.2, Δ.3, Ε.4

Σημείωση:

Ερώτημα του λεπτού, που τέθηκε σ’ εξετάσεις μαθηματικών για SAT

Λύση

Ένα ζεύγος. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί πλην του 2 είναι περιττοί συνεπώς, εάν ένα ζεύγος πρώτων αριθμών αποτελείται από δυο περιττούς αριθμούς το άθροισμα είναι άρτιος αριθμός. Όμως το 825 είναι περιττός αριθμός, άρα εάν υπάρχει ζεύγος πρώτων αριθμών με άθροισμα περιττό αριθμό, αποτελείται από ένα περιττό αριθμό και έναν άρτιο αριθμό, από το 2 και τον 823 (825-2=823).Ο 823 είναι πρώτος αριθμός άρα το μοναδικό ζεύγος που ικανοποίει τις προϋποθέσεις του προβλήματος είναι (2, 823).

Πηγή:

http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/12/825.html#comment-form

Η Μηνιαία Δόση

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσυκλέτα, Α (BMW), Β (Honda), και Γ (Yamaha). Ο πωλητής, για την εξόφληση των μοτοσυκλετών, ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και συμφώνησαν να πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€. Εάν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι 3.000€ για την μοτοσυκλέτα Α, 3.315€ για την μοτοσυκλέτα Β, και 3.840€ για την μοτοσυκλέτα Γ, να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης

Λύση

Το ποσό της μηνιαίας δόσης ανέρχεται στα 105€. Έστω «α» το ποσό της προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

(β/3.000)-α (1)

(β/3.315)-α (2)

(β/3.840)-α (3)

Από την πρώτη και τη δεύτερη σχέση προκύπτει:

β/3.315-3.000-α+α=315€ (α), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Α» και «Β»

Από την δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει:

β/3.840-3.315-α+α=525 (β), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Β» και «Γ»

Από την (β) και (α) έχουμε:

525-315=210€ (γ), η διαφορά των δύο κοστών

Από την (α) και (γ) έχουμε:

315-210=105€, η διαφορά των δύο κοστών

Επειδή εξ’ ορισμού «...το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€» β>100, ο μόνος θετικός διαιρέτης του 105 μεγαλύτερος του 100 είναι το 105, δεχόμαστε ως μηνιαία δόση το β=105€.

Πηγή:

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών A’ Γυμνασίου (2016)