Σ’ ένα τουρνουά σκακιού με σύστημα νοκάουτ, συμμετέχουν 206 παίκτες. Πόσοι αγώνες θα διεξαχθούν μέχρι να αναδειχθεί ο μοναδικός νικητής;
Λύση
Θα διεξαχθούν 205 αγώνες. Επειδή μετά από κάθε αγώνα αποχωρεί ένας παίχτης (ο ηττημένος) στο τέλος των αγώνων έχουν αποχωρήσει οι (ν-1) παίχτες (πλην του νικητή), οπότε έγιναν (ν-1) αγώνες:
(ν-1)=206-1=205 αγώνες
Σημείωση:
Σε νοκάουτ αγώνες, ο αριθμός των παικτών ακολουθεί τις δυνάμεις του 2:
2, 4, 8, 16, ... , Ν
Λύση με πίνακες:
Α' Λύση:
^Δεν έπαιξε στο 2ο γύρο, αλλά θα παίξει στο 3ο γύρο.
^^Δεν έπαιξε στο 5ο και 6ο γύρο, αλλά θα παίξει στον 7ο γύρο.
Β΄Λύση:
^Δεν έπαιξαν στο 1ο γύρο, αλλά θα παίξουν στο 2ο γύρο.
Γ΄Λύση:
Το σύνολο των ζευγαριών των συμμετεχόντων σε κάθε γύρο αποτελείται από έναν αριθμό πολλαπλάσιο του 2 (2,4,8,16,32,64,128,256,...,N) σε φθίνουσα σειρά από το δεύτερο γύρο και μετά. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε:
Συνολικές Συμμετοχές:....................................................................206
Επόμενο Πολλαπλάσιο του 2:........................................................256
Η Διαφορά αποτελεί τους Ελεύθερους Παίκτες του 1ου γύρου: 50 (ΒΥE)
*ΒΥΕ=Ελεύθερος Αγώνος
Έχουμε όταν ο συνολικός αριθμός των συμμετεχόντων για τον επόμενο γύρο είναι μονός, αποχωρεί ένας εξ αυτών για να δημιουργηθεί ζυγός αριθμός παικτών, ώστε ν’ αποτελέσουν ζευγάρια άρτια. Ο παίκτης που δε συμμετέχει στο συγκεκριμένο γύρο παίρνει ένα βαθμό άνευ αγώνος, αλλά δεν δικαιούται άλλο ΒΥΕ στους επόμενους γύρους.
