Οι Αγώνες

Σ’ ένα τουρνουά σκακιού με σύστημα νοκάουτ, συμμετέχουν 206 παίκτες. Πόσοι αγώνες θα διεξαχθούν μέχρι να αναδειχθεί ο μοναδικός νικητής;

Λύση

Θα διεξαχθούν 205 αγώνες. Επειδή μετά από κάθε αγώνα αποχωρεί ένας παίχτης (ο ηττημένος) στο τέλος των αγώνων έχουν αποχωρήσει οι (ν-1) παίχτες (πλην του νικητή), οπότε έγιναν (ν-1) αγώνες:

(ν-1)=206-1=205 αγώνες

Σημείωση:

Σε νοκάουτ αγώνες, ο αριθμός των παικτών ακολουθεί τις δυνάμεις του 2:

2, 4, 8, 16, ... , Ν

Λύση με πίνακες:

Α' Λύση:

^Δεν έπαιξε στο 2ο γύρο, αλλά θα παίξει στο 3ο γύρο.

^^Δεν έπαιξε στο 5ο και 6ο γύρο, αλλά θα παίξει στον 7ο γύρο.

Β΄Λύση:

^Δεν έπαιξαν στο 1ο γύρο, αλλά θα παίξουν στο 2ο γύρο.

Γ΄Λύση:

Το σύνολο των ζευγαριών των συμμετεχόντων σε κάθε γύρο αποτελείται από έναν αριθμό πολλαπλάσιο του 2 (2,4,8,16,32,64,128,256,...,N) σε φθίνουσα σειρά από το δεύτερο γύρο και μετά. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε:

Συνολικές Συμμετοχές:....................................................................206

Επόμενο Πολλαπλάσιο του 2:........................................................256

Η Διαφορά αποτελεί τους Ελεύθερους Παίκτες του 1ου γύρου: 50 (ΒΥE)

*ΒΥΕ=Ελεύθερος Αγώνος

Έχουμε όταν ο συνολικός αριθμός των συμμετεχόντων για τον επόμενο γύρο είναι μονός, αποχωρεί ένας εξ αυτών για να δημιουργηθεί ζυγός αριθμός παικτών, ώστε ν’ αποτελέσουν ζευγάρια άρτια. Ο παίκτης που δε συμμετέχει στο συγκεκριμένο γύρο παίρνει ένα βαθμό άνευ αγώνος, αλλά δεν δικαιούται άλλο ΒΥΕ στους επόμενους γύρους.