Να βρείτε τους ακεραίους x, και y, εάν ισχύει: 8^x+4^y=513.
Λύση
(α) Καταρχάς, ας παρατηρήσουμε ότι κανένας εκ των «x», και «y» δεν
μπορεί να είναι αρνητικός. Αυτό γίνεται φανερό αν θυμηθούμε ότι:
α^(-ν)=1/α^ν
Π.χ. 8^(−3) =1/8^3 που δεν είναι ακέραιος. Άρα δεν γίνεται ΜΟΝΟ ο
«x» ή ΜΟΝΟ ο «y» να είναι αρνητικός, αφού το άθροισμα 8^x+4^y
ισούται με ακέραιο.
(β) Μήπως όμως μπορεί και ο «x» και ο «y» να είναι αρνητικοί ακέραιοι;
Τότε, αν και κάθε δύναμη ξεχωριστά δίνει μη ακέραιο αποτέλεσμα,
ενδέχεται το άθροισμά τους να δίνει ακέραιο αποτέλεσμα. Πάλι μπορούμε
να δούμε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν να συμβαίνει. Ο λόγος είναι ότι αν οι
«x», «y» είναι αρνητικοί ακέραιοι, κάθε δύναμη από τις 8^x, 4^y είναι
μικρότερη από 1 και άρα δεν γίνεται το άθροισμά τους να ισούται με 513.
(γ) Ας παρατηρήσουμε τώρα ότι δεν γίνεται να είναι και ο «x» και ο «y»
θετικός ακέραιος. Αν συνέβαινε αυτό οι αριθμοί 8^x, 4^y θα ήσαν άρτιοι,
το οποίο δεν γίνεται, αφού το άθροισμά τους ισούται με έναν περιττό.
Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ένας
τουλάχιστον από τους «x», «y» ισούται με μηδέν.
(α) Εάν x=0 η σχέση γίνεται:
8^x+4^y=513 --->8^0+4^y=513 ---> 1+4^y=513 ---> 4^y=513-1 ---> 4^y=512.
Κάνοντας δοκιμές διαπιστώνουμε ότι καμία ακέραια δύναμη του τέσσερα
δεν δίνει αποτέλεσμα 512.
(β) Εάν y=0 η σχέση γίνεται:
8^x+4^y=513 --->8^x+4^0=513 ---> 8^x+1=513 ---> 8^x=513-1 ---> 8^x=512
Mε δοκιμές βρίσκουμε x=3.
Τελικά η μόνη λύση του προβλήματος είναι το ζεύγος x=3, και y=0.
Και μια λύση από τον αείμνηστο Ε. Αλεξίου
x=3, y=0
8^x+4^y=513=512+1 ==> (8^x=1, 4^y=512), ή (8^x=512, 4^y=1)
8^x=1 ==> x=0 και 4^y=512 ==>y=9/2, άτοπο
8^x=512 ==>x=3 και y=0
Πηγή:
http://users.sch.gr/anitus/01_arhiki/therina_provlimata_ 2015/3_week/therino_periodiko_32.pdf
.