Οι Αριθμοί

 

Πόσοι και ποιοι τετραψήφιοι αριθμοί έχουν άθροισμα ψηφίων 34;

Λύση

Ο αριθμός 34 σχηματίζεται από τ’ αθροίσματα (16+18) και (17+17).

Αναλυτικά:

α)34= 16+18=[(9+7=16)+(9+9=18)]

Άρα έχουμε:

9997, 9979, 9799, και 7999

β)34=17+17=[(9+8=17)+(9+8=17)]

Άρα έχουμε:

8899, 9898, 8989, 9988, 8998, και 9889

Πηγή:

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία — Θέματα και Λύσεις Επαρχιακού Διαγωνισμού στα Μαθηματικά

http://www.cms.org.cy/assets/files/Eparxiakos%202013/E%20Demotikou%20Eparxiakos%20Solutions%202013-14.pdf ( Ε”ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΛΥΣΕΙΣ)

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με το θετικό ακέραιο «x» δίνουν και οι δυο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»;

Λύση

Οι δυνατές τιμές του «χ» είναι (χ=19) και (χ=95). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:

203 = χ*κ +13 (1)

298 = χ*λ +13 (2)

Όπου κ, και λ θετικοί ακέραιοι.. Από την (1) συνάγουμε ότι:

203 = χ*κ +13 ---> χ*κ=203-13 ---> χ*κ=190 (3)

Από τη (2) συνάγουμε ότι:

298 = χ*λ +13 ---> χ*λ=298-13 ---> χ*λ=285 (4)

Επομένως ο χ είναι κοινός διαιρέτης των 190 και 285. Επειδή Μ.Κ.Δ.(190, 285) = 5,. 19 , οι δυνατές τιμές του χ είναι οι διαιρέτες του (190, 285), δηλαδή οι 1, 5, 19 και 95. Όμως, εξ υποθέσεως, πρέπει χ>13, οπότε τελικά θα είναι: χ =19 ή χ = 95.

Αντικαθιστούμε τις τιμές του «χ» 19 και 95 στη (3) κι’ έχουμε:

χ*κ=190 ---> 19*κ=190 ---> κ=190/19 ---> κ=10 (5)

χ*κ=190 ---> 95*κ=190 ---> κ=190/95 ---> κ=2 (6)

Αντικαθιστούμε τις τιμές του «χ» 19 και 95 στη (4) κι’ έχουμε:

χ*λ=285 ---> 19*λ=285 ---> λ=285/19 ---> λ=15 (7)

χ*λ=285 ---> 95*λ=285 ---> λ=285/95 ---> λ=3 (8)

Επαλήθευση:

203 = χ*κ +13 ---> 203=19*10+13 ---> 203=190+13

203 = χ*κ +13 ---> 203=95*2+13 ---> 203=190+13

298 = χ*λ +13 ---> 298=19*15+13 ---> 298=285+13

298 = χ*λ +13 ---> 298=95*3+13 ---> 298=285+13

Πηγή:

http://www.cms.org.cy/assets/files/Pagkiprios%202013/Pagkiprios%20A%20Gimnasiou%202013%20Liseis.pdf