Πρωτάθλημα Σκακιού

Δύο μαθητές δημοτικού, ταλαντούχοι στο σκάκι, έλαβαν μέρος σ’ ένα πρωτάθλημα που διοργανώθηκε στο Πανεπιστήμιο της πόλης τουςκαι ανταγωνίστηκαν με τους φοιτητές. Κάθε παίκτης που συμμετείχε στο πρωτάθλημαέπειξε με όλους τους άλλους μια μόνο παρτίδα. Με κάθε νίκη έπαιρνε ένα βαθμό, με κάθε ισοπαλία έπαιρνε μισό βαθμό, ενώ στην περίπτωση της ήττας ο παίκτης δεν έπαιρνε βαθμό. Όλοι οι φοιτητές είχαν στο τέλος την ίδια βαθμολογία, ενώ οι δύο μαθητές μαζί συγκέντρωσαν συνολικά 6,50 βαθμούς. Πόσοι φοιτητές συμμετείχαν στο πρωτάθλημα σκακιού;

Λύση

Αν ήταν ν φοιτητές και πήραν α βαθμούς ο καθένας (α πολλαπλάσιο του 0,5), τότε:

α=[(ν+1)(ν+2)/2-6,5]/ν => ν+3-11/ν=2α => ν=11, α=6,5

Συμμετείχαν 11 φοιτητές.

Πηγή:

https://eistoapeiron.blogspot.com/2023/03/grifos-protathlima-skakiou.html

Οι Κάρτες

Ο Παναγιώτης έπαιξε από δύο παρτίδες ενός παιχνιδιού µε κάρτες, µε καθέναν από τους φίλους του Αντώνη, Δημήτρη, και Γιώργο. Πρώτα έπαιξε µε τον Αντώνη διπλασιάζοντας τις κάρτες του στην πρώτη παρτίδα, ενώ στη δεύτερη έχασε 25 κάρτες. Στη συνέχεια, παίζοντας µε το Δημήτρη, αρχικά τριπλασίασε τις κάρτες που είχε και μετά έχασε 15 κάρτες. Τέλος, στην πρώτη παρτίδα µε το Γιώργο, κέρδισε 50 κάρτες, αλλά στη δεύτερη έχασε 33. Μετά το τέλος των παρτίδων ο Παναγιώτης είχε 197 κάρτες. Με πόσες κάρτες ξεκίνησε να παίζει;

Λύση

Ο Παναγιώτης ξεκίνησε να παίζει με 45 κάρτες. Έστω «x» οι κάρτες που είχε στην αρχή ο Παναγιώτης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:

Διπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη:2χ.

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:

Ο Παναγιώτης χάνει 25 κάρτες:(2χ-25).

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρης:

Τριπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη που είχε μετά τη δεύτερη παρτίδα με τον Αντώνη:3*(2χ-25).

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρη:

Ο Παναγιώτης χάνει 15 κάρτες: [3*(2χ-25)-15]

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:

Ο Παναγιώτης κερδίζει 50 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50]

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:

Ο Παναγιώτης χάνει 33 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50-33].

Μετά τ’ ανωτέρω αποτελέσματα είχε 197 κάρτες, οπότε έχουμε την εξίσωση:

[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> 6x-75 -15+50-33=197 --> 6x=197+75+15-50+33 --> 6x=320-50 --> 6x=270 --> x=270/6 --> x=45

Επαλήθευση:

[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> [[3*(2*45)-25]-15+50-33]=197 -->[[(3*(90-25]-15+50-33]=197 --> [(3*65)-15+50-33]=197 --> 195-15+50-33=197