Η Θέση

Ο Κώστας πήγε στον κινηματογράφο «Αθήναιον» να δει την ταινία «Καζαμπλάνκα». Λόγω της ταινίας υπήρχαν μπροστά στο ταμείο μαζί με το Κώστα 17 άτομα.

(α) Μπροστά του υπάρχουν τριπλάσια άτομα απ’ όσα βρίσκονται πίσω του. Ποια είναι η θέση του από την αρχή της σειράς;

(β) Εάν η εκφώνηση του προβλήματος ήταν αντίστροφη και μετρούσαμε τα άτομα από το τέλος προς το ταμείο. Ποια είναι η θέση του από τo τέλος της σειράς;

Διευκρίνιση:

(α) Η σειρά ξεκινάει από το ταμείο.

(β) Η σειρά ξεκινάει από το τέλος προς το ταμείο.

Λύση

(α)Ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς από την αρχή.

(β)Ο Κώστας βρίσκεται στην 5η θέση της ουράς από το τέλος.

(α)Τα άτομα που περιμένουν στη σειρά χωρίς το Κώστα είναι:

17-1=16 άτομα.

Τα 16 άτομα είναι χωρισμένα σε 4 ίσα μέρη, από τα οποία τα τρία τέταρτα βρίσκονται μπροστά από το Κώστα και το ένα τέταρτο πίσω του. Επομένως μπροστά του βρίσκονται:

16*(3/4)=4*3=12 άτομα

Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς που περιμένει στο ταμείο.

(β)3(ν-1)=17-ν ---> 3ν-3=17-ν ---> 3ν+ν=17+3 ---> 4ν=20 ---> ν=20/4 ---> ν=5 θέση

Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 5η θέση της ουράς από το τέλος.

Τα Χρήματα

Ο κ. Ασημάκης μια μέρα αποφάσισε να πάει παρέα με τους φίλους του σε μια ταβέρνα στη γειτονιά του, «Το Γιοματάρι», για να θυμηθούν τα παλιά. Αφού παραγγείλανε τα σχετικά, αρχίσανε να συζητάνε και να θυμούνται τα περασμένα πίνοντας, τρώγοντας και τραγουδώντας παλιά τραγούδια . Έτσι πέρασε η ώρα και ο κ. Ασημάκης αποφάσισε να φύγει. Αφού πλήρωσε το λογαριασμό διαπίστωσε ότι είχε στο πορτοφόλι του τόσα λεπτά όσα ήταν τα ευρώ που είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει μετά την πληρωμή του λογαριασμού είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά. (π.χ. αρχικά είχε 12,10€ και μετά την πληρωμή του λογαριασμού έχει 5,12€). Πόσα χρήματα είχε αρχικά, εάν τα χρήματα που του έμειναν στο πορτοφόλι αντιστοιχούν στα μισά από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό;

Λύση

Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε στο πορτοφόλι του 99,98€ και μετά τη πληρωμή του λογαριασμού είχε στο πορτοφόλι του 49,99€ που αντιστοιχούν στα μισά χρήματα που είχε αρχικά. Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε α € και β λεπτά μετά την πληρωμή του λογαριασμού είχε (β/2)€ και α λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:

α = 2*(β/2)+1 (1)

β = 2α–100 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

α = 2*(β/2)+1 ---> α= β + 1 (3)

Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:

α = β+1 ---> α = 2α–100+1 ---> α = 99 (4)

Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:

β = 2α – 100 ----> β=[(2*99)-100] ---> β=198-100 ---> β=98 (5)

Επαλήθευση:

α = 2 *(β/2)+1 ---> α=2*(98/2)+1 ---> α=98+1 ----> α=99

β = 2α–100 ---> [(2*99)-100] ----> β=198-100 ----> β=98