Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ. Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο. Να βρεθεί η τιμή του «x».
Λύση
Η τιμή του «x» είναι 2. Επειδή η εκφώνηση αναφέρει ότι οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξάνονται κατά «x» εκ., οι διαστάσεις των πλευρών γίνονται:
(ΑΒ)=4+x εκ., (ΑΓ)=6+x εκ., και (ΒΓ)=8+x εκ. αντίστοιχα.
Μετά την αύξηση των πλευρών του σκαληνού τριγώνου το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο, οπότε βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος (ΒΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 έχουμε:
(ΒΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 ---> (8+x)2=(4+x)2+(6+x)2 ---> 82+2*8x+x2=42+2*4x+x2+62+2*6x+x2 ----> 64+16x+x2=16+8x+x2+36+12x+x2 ----> 64-16-36=8x+12x-16x-x2+x2+x2 ----> 64-52=20x-16x+x2 ----> 12=4x+x2 ----> x2+4x-12=0 (1)
x=(-4±sqrt[(4)^2-4*1*(-12)])/2*1 === x=(-4±sqrt[16+48])/2 === x=(-4±sqrt[64])/2 === x=(-4±8)/2 (2)
x1=(-4+8)/2 === x1=4/2 === x1=2 (3)
x2=(-4-8)/2 === x2=(-12)/2 === x2= -6 (4)
Ως αποτέλεσμα δεχόμαστε την θετική ρίζα x1=2. Άρα οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξήθηκαν κατά 2εκ., οπότε το τρίγωνο μετασχηματίστηκε σε ορθογώνιο με πλευρές.
(ΑΒ)=4+2=6εκ, (ΑΓ)=6+2=8εκ., και (ΒΓ)=8+2=10εκ. αντίστοιχα., των οποίων οι τιμές αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα (6,4,10).
Επαλήθευση:
(ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 ---> (8+x)^2=(4+x)^2+(6+x)^2 ---> (8+2)^2=(4+2)^2+(6+2)^2 ----> 10^2=6^2+8^2 100=36+64 ο.ε.δ.
Πηγή:
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.
