Ένας αγρότης επιθυμεί να αναπτύξει μια δενδροφυτεία. Ξεκινά φτιάχνοντας ένα μύλο και φυτεύοντας δέντρα με ορθογώνιο τρόπο γύρω του, έτσι ώστε ο μύλος να είναι το κέντρο της φυτείας.
Ο μύλος καταλαμβάνει χώρο δύο δέντρων. Κάθε μήνα προσθέτει άλλη μία εξωτερική σειρά δέντρων όπως φαίνεται στις εικόνες.
Να βρεθεί:
i)Πόσα δέντρα θα υπάρχουν μετά από 4 μήνες.
ii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από 5 μήνες.
iii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από n μήνες.
iv)Πόσο καιρό θα του πάρει για να έχει ένα δάσος με 550 δέντρα.
Μετά από 4 μήνες θα έχει 10 δένδρα. Μετά από 2 μήνες θα έχει 28 δένδρα. Μετά από τρεις μήνες θα έχει 54 δένδρα. Μετά από 4 μήνες θα έχει 88 δένδρα. Μετά από 5 μήνες θα έχει 130 δένδρά. Μετά από ν μήνες θα έχει 4ν^2+6ν δένδρα. Για να έχει 550 δένδρα χρειάζονται 11 μήνες.
Πρώτος Μήνας: 3*4-2=12-2=10 δένδρα.
Δεύτερος Μήνας: 5*6-2=30-2=28 δένδρα.
Τρίτος Μήνας: 7*8-2=56-2=54 δένδρα.
Τέταρτος Μήνας: 9*10-2=90-2=88 δένδρα.
Πέμπτος Μήνας: 11*12-2=132-2=130 δένδρα.
Μετά από ν μήνες: H κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2ν δέντρα, οπότε έχουμε:
(2ν+1)*(2ν+2)--2= 4ν^2+4ν+2ν+2-2=4ν^2+6ν δένδρα (1)
Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
4ν^2+6ν=550 ===> 4ν^2+6ν-550=0
Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:
4ν^2+6ν-550=0 ===> 2ν^2+3ν-275=0 (2)
ν=(-3±sqrt[(3^2-4*2*(-275)])/2*2
ν=(-3±sqrt[(9+2.200])/4
ν=(-3±sqrt[(2.209])/4
ν=(-3±47)/4
ν=(-3+47)/4 ===> ν=44/4 ===> ν=11 Ρίζα Αποδεκτή (3)
Άρα, σε 11 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.
Επαλήθευση:
4ν^2+6ν=550 ===> 4*11^2+6*11+10=550 ===> 4*121+6*11+10=550 ===> 484+66=550 ο.ε.δ.
Πηγή:
http://eisatopon.blogspot.com/2023/03/blog-post_67.html#comment-form
Αυτό δε θα σου το λύσω, Κάρλο. Λύσ' το μόνος σου αν μπορείς στο eisatopon 😊..
ΑπάντησηΔιαγραφήi) Μετά από 1μήνα, θα είναι 6*5-2 δέντρα, μετά από 2μήνες θα είναι 8*7 -2 δέντρα, μετά από τρεις θα είναι 10*9-2 δέντρα και συνεχίζουμε ομοίως. Μετά από 4 μήνες, θα είναι 12*11-2=130 δέντρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήii) 14*13-2=180 δέντρα
iii) Μετά από n μήνες, η κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2n δέντρα .
Άρα, θα είναι (2n+4)(2n+3)-2=4n^2+14n+10 δέντρα.
iv) Έστω n οι μήνες. Τότε, είναι 4n^2+14n+10=550 που δίνει την δευτεροβάθμια εξίσωση 2n^2+7n-270=0 με δεκτή λύση n=10
Θανάση, όποιος αναμένει, ανταμείβεται!!" 😀😀😀
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιάβασε τα σχόλια.
Μιχάλη, σ' ευχαριστώ για τη λύση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάρλο, βεβαιώσου πρώτα ότι έχεις σωστή λύση. Ο Μιχάλης γράφει ότι στον 1ο μήνα έχουμε 6*5-2=28 δένδρα, αλλά στο σχήμα εγώ βλέπω μόνο 10..🎃
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, έχεις δίκιο. Δεν την εξέτασα. Η λύση ως προς το πρώτο σκέλος είναι λανθασμένη. Παρ' όλα αυτά δεν παύει να ισχύει η ρήση που έγραψα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρώτος Μήνας: 3*4-2=12-2=10 δένδρα.
Δεύτερος Μήνας: 5*6-2=30-2=28 δένδρα.
Τρίτος Μήνας: 7*8-2=56-2=54 δένδρα
Τέταρτος Μήνας: 9*10-2=90-2=88 δένδρα.
Πέμπτος Μήνας: 11*12-2=132-2=130 δένδρα.
Μετά από n μήνες, η κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2n δέντρα, οπότε έχουμε:
(2ν+4)*(2ν+3)--2= 4ν^2+8ν+6ν+12-2=4ν^2+14ν+10 δένδρα (1)
Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
4ν^2+14ν+10=550 ===> 4ν^2+14ν+10-550=0 ===>
4ν^2+14ν-540=0
Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:
4ν^2+14ν-540=0 ===> 2ν^2+7ν-270=0 (2)
ν=(-7±sqrt[(7^2-4*2*(-270)])/2*2
ν=(-7±sqrt[(49+2.160])/4
ν=(-7±sqrt[(2.209])/4
ν=(-7±47)/4
ν=(-7+47)/4 ===> ν=40/4 ===> ν=10 Ρίζα Αποδεκτή (3)
Άρα, σε 10 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.
Επαλήθευση:
4ν^2+14ν+10=550 ===> 4*10^2+14*10+10=550 ===>
4*100+14*10+10=550 ===> 400+140+10=550 ο.ε.δ.
.
Ξαναδές το Κάρλο, έχεις κι άλλα λάθη: το μήνα ν έχει (2ν+1)(2ν+2)-2 δέντρα, άρα τα 550 δέντρα τα έχει σε 11 μήνες..
ΔιαγραφήΜιχάλη, τελικά η λύση σου ως προς το πρώτο σκέλος του προβλήματος είναι λανθασμένη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, Θανάση, Σωστά, 11 μήνες και όχι 10. Άρα το λάθος είναι ένα , αυτό στην εξίσωση (1).
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιόρθωση:
(2ν+1)*(2ν+2)--2= 4ν^2+4ν+2ν+2-2=4ν^2+6ν δένδρα (1)
Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
4ν^2+6ν=550 ===> 4ν^2+6ν-550=0
Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:
4ν^2+6ν-550=0 ===> 2ν^2+3ν-275=0 (2)
ν=(-3±sqrt[(3^2-4*2*(-275)])/2*2
ν=(-3±sqrt[(9+2.200])/4
ν=(-3±sqrt[(2.209])/4
ν=(-3±47)/4
ν=(-3+47)/4 ===> ν=44/4 ===> ν=11 Ρίζα Αποδεκτή (3)
Άρα, σε 11 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.
Επαλήθευση:
4ν^2+6ν=550 ===> 4*11^2+6*11+10=550 ===>
4*121+6*11+10=550 ===> 484+66=550 ο.ε.δ.