Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.

Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».

Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 6 και 2/3 σακιά πίτουρα».

Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς;

Λύση

Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α+β=100 (1)

Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:

α*x ευρώ

Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:

(100-α)*ψ ευρώ

Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:

α*x=(100-α)*ψ (2)

Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:

(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)

Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:

α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)

Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:

α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α ---> 3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ

Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:

3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ ---> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 ---> 45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 ---> 25α^2+4.000α-200.000=0

Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:

25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)

Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:

α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —> α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —>

α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2

α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)

α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)

Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:

α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)

Επαλήθευση:

α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=7177