Οι Ομάδες

Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα;

Λύση

Οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα ήταν 16. Έστω «ν» οι ομάδες και «κ» οι αγώνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

Έστω ν=2κ (1) άρτιος ο αριθμός των ομάδων.

Κάθε ομάδα παίζει:

2(ν-1)=2(2κ-1) (2) αγώνες, που είναι και ο αριθμός των αγωνιστικών ημερών.

Κάθε αγωνιστική ημέρα διεξάγονται:

κ = ν/2 (3) αγώνες.

Άρα ο αριθμός των αγώνων όλου του πρωταθλήματος είναι:

κ[2(2κ-1)] =240 (4)

Συνεπώς:

κ[2(2κ-1)]=240 ---> κ(2κ-1)=240/2 ---> κ(2κ-1)=120 ----> 2κ^2-κ=120 ----> 2κ^2-κ-120=0 (5)

κ=(1±sqrt[(-1)^2-4*2*(-120)])/2*2 === κ=1±sqrt[1+960])/4 === κ=(1±sqrt[961])/4 === κ=(1±31)/4

κ1=(1+31)/4 === κ1=32/4 === κ1=8 (6) αποδεκτή

κ2=(1-31)/4 === κ2= 30/4 === κ2= -7,50 (7) μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε:

ν=2κ ----> ν=2*8 ----> ν=16 (8)

Άρα ο αριθμός των ομάδων είναι 16.

Επαλήθευση:

ν=2κ ----> ν=2*8 ---> ν=16 ομάδες

2(ν-1)=2(2κ-1) ----> 2*(16-1)=2*(2*8-1) ----> 2*15=2*(16-1) ---> 2*15=2*15=30 αγώνες

κ = ν/2 ---> κ=16/2 ----> κ=8 αγώνες

κ[2(2κ-1)] =240 ----> 8*[2*(2*8-1)]=240 ----> 8*[2*(16-1)]=240 ----> 8*(2*15)=240 ---> 8*30=240 συνολικοί αγώνες ο.ε.δ.

Πήγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.

Η Τιμή

Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτό-πουλα. Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων. Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα;

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.

Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.

Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.

(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.

Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.

Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.

Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.

Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.

Εστω χ<10,ψ<16,ω<26 τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφες αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β η απογευματινη, οπου α,β ρητοι θετικοι με α>β, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:

χα+(10-χ)β=35 (1)

ψα+(16-ψ)β=35 (2)

ωα+(26-ω)β=35 (3)

Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:

(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 <=> (χ-ψ)(α-β)=6β>0 αρα: χ>ψ (Α)

(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (ψ-ω)(α-β)=10β>0 αρα: ψ>ω (Β)

(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)

Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)

Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:

(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5

(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8

(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8

Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:

χ-ψ=3

ψ-ω=5

χ-ω=8 <=> χ=8+ω<10 <=> ω<10-8=2 αρα: ω=1

Οποτε:

χ=8+ω=8+1=9

ψ-ω=5 <=> ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]

Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:

9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β <=> 9α+β=6α+10β <=> 3α=9β <=> α=3β

Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:

α+(26-1)β=35 <=> 3β+25β=35 <=> 28β=35 <=> β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια

αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=1567