Οι Ομάδες

Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα;

Λύση

Οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα ήταν 16. Έστω «ν» οι ομάδες και «κ» οι αγώνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

Έστω ν=2κ (1) άρτιος ο αριθμός των ομάδων.

Κάθε ομάδα παίζει:

2(ν-1)=2(2κ-1) (2) αγώνες, που είναι και ο αριθμός των αγωνιστικών ημερών.

Κάθε αγωνιστική ημέρα διεξάγονται:

κ = ν/2 (3) αγώνες.

Άρα ο αριθμός των αγώνων όλου του πρωταθλήματος είναι:

κ[2(2κ-1)] =240 (4)

Συνεπώς:

κ[2(2κ-1)]=240 ---> κ(2κ-1)=240/2 ---> κ(2κ-1)=120 ----> 2κ^2-κ=120 ----> 2κ^2-κ-120=0 (5)

κ=(1±sqrt[(-1)^2-4*2*(-120)])/2*2 === κ=1±sqrt[1+960])/4 === κ=(1±sqrt[961])/4 === κ=(1±31)/4

κ1=(1+31)/4 === κ1=32/4 === κ1=8 (6) αποδεκτή

κ2=(1-31)/4 === κ2= 30/4 === κ2= -7,50 (7) μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε:

ν=2κ ----> ν=2*8 ----> ν=16 (8)

Άρα ο αριθμός των ομάδων είναι 16.

Επαλήθευση:

ν=2κ ----> ν=2*8 ---> ν=16 ομάδες

2(ν-1)=2(2κ-1) ----> 2*(16-1)=2*(2*8-1) ----> 2*15=2*(16-1) ---> 2*15=2*15=30 αγώνες

κ = ν/2 ---> κ=16/2 ----> κ=8 αγώνες

κ[2(2κ-1)] =240 ----> 8*[2*(2*8-1)]=240 ----> 8*[2*(16-1)]=240 ----> 8*(2*15)=240 ---> 8*30=240 συνολικοί αγώνες ο.ε.δ.

Πήγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.