Οι Ηλικίες

Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041.

Να βρεθούν:

(α) Οι ηλικίες των παιδιών.

(β) Η ηλικία της μητέρας.

(γ) Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;

Λύση

Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:

41.041=7*11*13*41

Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:

(α) 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.

(β)Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.

(γ) Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.

Πριν «y» χρόνια ήταν:

Ηλικία μητέρας: (41–y)

Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.

Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)

(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001

y^3–31*y^2+310*y–960=0

(y–6)*(y^2–25*y+160)=0

(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)

Άρα: y=6

Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.

Επαλήθευση:

Πριν 6 χρόνια ήταν:

Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών

Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα, και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35

Επαλήθευση:

(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

Πηγή:

5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016