Πρωτομαγιά 2023!!

 

Αντιγράφω το κείμενο από την ιστοσελίδα του Δ. Σπυρόπουλου «Το ιστολόγιο ενός Μαθηματικού και όχι μόνο...», όπου στις τρεις γραμμές του συμπεριλαμβάνει όλο το νόημα της σημερινής ημέρας που δεν είναι ΑΡΓΙΑ, αλλά ΑΠΕΡΓΙΑ!!

*Καλό μήνα και καλή πρωτομαγιά.* *Να είμαστε καλά και να θυμόμαστε τους κοινωνικούς αγώνες των * *εργατών που ανέδειξαν **αυτονόητα δικαιώματα και αντέταξαν ηρωισμό * *απέναντι στην κάθε είδους αυθαιρεσία.......*

Η ιστοσελίδα του «Papaveri48a» σας εύχεται με τη σειρά του Καλό Μήνα και Καλή Πρωτομαγιά!!

Τεστ Μαθηματικών

(α)Τα Χτυπήματα

Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 24ωρο;

(β)Ο Πολλαπλασιασμός

Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών (αμοιβάδων) διπλασιάζεται κάθε μέρα. Σε 8 μέρες ο πληθυσμός αυξήθηκε σε100 εκατομμύρια. Σε πόσες μέρες θα αυξηθεί σε 400 εκατομμύρια;

(γ)Ο Όρος

(i)Δίνεται η παρακάτω σειρά αριθμών 5, 16, 50,…? Ποιος είναι ο επόμενος όρος;

(ii)Ποιοι είναι οι επόμενοι δύο αριθμοί σε αυτήν την ακολουθία: 5, 9, 17, 33, 65,…?

(δ)Τα Αυγά

Πόσα αυγά υπάρχουν στην αυγοθήκη;

Λύση

(α) Τα Χτυπήματα

156 χτυπήματα.

Αθροίζουμε τις 12 ώρες και το άθοισμα το πολλαπλασιάζπυμε με το 2 κι’ έχουμε:

2x(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12) = 2x78 = 156

(β) Ο Πολλαπλασιασμός

Σε 10 ημέρες.Την 9η ημέρα αυξάνεται σε 2*100.000.000=200.000.000. Τη 10 ημέρα αυξάνεται σε 2*200.000.000=400.000.000.

(γ) Ο Όρος

(i)5*3+1=15+1=16

16*3+2=48+2=50

50*3+3=150+3=153

(ii)n+(n-1)

5+4=9

9+2*4=9+8=17

17+2*8=17+16=33

33+2*16=33+32=65

65+2*32=65+64=129

129+2*64=129+128=257

(δ) Τα Αυγά

Υπάρχουν 30 αυγά. Πώς είμαστε σίγουροι;

Υπάρχουν 4 σειρές με 4 αυγά στο κάτω μέρος, που σημαίνει ότι έχει 4*4 = 16 αυγά.

Υπάρχουν 3 σειρές με 3 αυγά στη δεύτερη στρώση, που σημαίνει ότι έχει 3*3 = 9 αυγά.

Υπάρχουν 2 σειρές με 2 αυγά στο στρώμα πάνω από αυτό, που σημαίνει ότι έχει 2*2 = 4 αυγά.

Υπάρχει μόνο ένα αυγό στο επάνω στρώμα.

Όταν προσθέσετε τα αυγά σε όλες τις στρώσεις, τότε θα διαπιστώσετε ότι ο συνολικός αριθμός των αυγών στη θήκη ανέρχεται σε:

16+9+4+1=30

ΠΑΣΧΑ 2023!!

 Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"

Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"

Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or

Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"

                                             * * * * * * * * *

Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948a” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά!

Είθε ο Ανασστημένος Ιησούς Χριστός να φέρει την Αγάπη και την Ειρήνη σ΄όλο τον Κόσμα.

ΠΑΣΧΑ 2023!!

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48a" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Οι Δύο Έμποροι

Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.

Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:

-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ο δεύτερος τότε του λέει:

-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/7 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

x+(y/5)=10,000 (1)

y+(x/7)=10.000 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)

Από την (2) συνάγουμε ότι:

y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)

Από τη (4) συνάγουμε ότι:

7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)

Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:

5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ----> 34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)

Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:

x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)

Επαλήθευση:

x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000

y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Πρόβλημα του Λόγιου μαθηματικού Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο του «Δεύτερη των Επιστολών», που γράφτηκε το 1341. Ο Ευάγγελος Σταμάτης τον χαρακτήρζε ως τον «Πρίγκιπα της Βυζαντινής Αριθμητικής».

Η Πιθανότητα

Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια;

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:

P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5

Η πιθανότητα να πιαστεί είναι:

0.5*0.5=0.25

Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι:

1−0.25=0.75

Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!

Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα να έχουν πιαστεί είναι:

5*0.5=2.5 μύγες

Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι:

(3−2.5)* 0.5=0.25

Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:

1−0.25=0.75

Η Τιμή

Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:

(α)Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.

(β)Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.

(γ)Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.

Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».

Λύση

Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:

C(n,2)≤3n ⇔ [n*(n-1)]/2≤3n ⇔ (n-1)/2≤3 ⇔ n≤7

Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:

C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7

Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:

(Α, Β, Γ), (Α, Δ, Ε), (Α, Ζ, Η), (Β, Δ, Η), (Β, Ε, Ζ), (Γ, Δ, Ζ), και (Γ, Ε, Η) ο. ε. δ.

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view, Θέμα Νο.4

34η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017

Σημείωση:

[⇔=Ισοδυναμεί με...]

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»;

Λύση

Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ, έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις: (Ο αριθμός «Δ» λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός «δ» λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός «π» λέγεται πηλίκο και ο αριθμός «υ» λέγεται υπόλοιπο της διαίρεσης.)

x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)

x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)

Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε

Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37

Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74 Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη (υ17)

Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.

Πηγή:

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-A200/293/2066,7182/

Οι Ηλικίες

Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:

-«Κύριε καθηγητά, πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»

Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:

-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.»

Λύση

Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

α)Για την ηλικία του καθηγητή:

(α-5)*(α+5)=1.200 (1)

α^2+5α -5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:

α^2=1.225 ---> sqrt[α^2]=sqrt[1.225] ---> α=35 (2)

Επαλήθευση:

(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 ο.ε.δ.

β)Για την ηλικία των παιδιών του:

Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:

ω=β*β (1)

ω=β+β (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

ω=β*β ---> ω=β^2 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)

Επαλήθευση:

ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4

ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.