Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτό-πουλα. Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων.
Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα;
(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.
(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.
Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.
Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.
Εστω χ<10,ψ<16,ω<26 τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφες αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β η απογευματινη, οπου α,β ρητοι θετικοι με α>β, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:
χα+(10-χ)β=35 (1)
ψα+(16-ψ)β=35 (2)
ωα+(26-ω)β=35 (3)
Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:
(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 <=> (χ-ψ)(α-β)=6β>0 αρα: χ>ψ (Α)
(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (ψ-ω)(α-β)=10β>0 αρα: ψ>ω (Β)
(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)
Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)
Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:
(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5
(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8
(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8
Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:
χ-ψ=3
ψ-ω=5
χ-ω=8 <=> χ=8+ω<10 <=> ω<10-8=2 αρα: ω=1
Οποτε:
χ=8+ω=8+1=9
ψ-ω=5 <=> ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]
Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:
9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β <=> 9α+β=6α+10β <=> 3α=9β <=> α=3β
Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:
α+(26-1)β=35 <=> 3β+25β=35 <=> 28β=35 <=> β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια
αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια
Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα
Πηγή:
http://omathimatikos.gr/?p=1567
Έστω χ,ψ,ζ οι αριθμοί κοτόπουλων που πούλησαν το πρωί, με τη σειρά που αναφέρονται, α η πρωινή και β η απογευματινή τιμή σε ρούβλια / κοτόπουλο, με α>β. Από τα δεδομένα έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήαχ+β(10-χ)=35 => χ=(35-10β)/(α-β)
αψ+β(16-ψ)=35 => ψ=(35-16β)/(α-β)
αζ+β(26-ζ)=35 => ζ=(35-26β)/(α-β)
και με αφαιρέσεις κ.μ.:
χ-ψ=6β/(α-β)
ψ-ζ=10β/(α-β)
χ-ζ=16β/(α-β)
πράγμα που σημαίνει ότι οι αναλογίες (χ-ψ):(ψ-ζ):(χ-ζ) είναι 6:10:16=3:5:8, ή αλλιώς:
χ-ψ=3κ
ψ-ζ=5κ
χ-ζ=8κ, όπου κ θετικός ακέραιος.
Δεδομένου ότι χ≤10 και ζ≥0, έπεται ότι χ-ζ≤10, επομένως κ=1 και χ-ζ=8, χ-ψ=3, ψ-ζ=5. Οι πιο πάνω διαφορές μπορεί να ισχύουν για τις τριάδες (χ,ψ,ζ): (10,7,2),(9,6,1), (8,5,0).
Από τις τρεις αυτές τριάδες, όπως προκύπτει με αντικατάστασή τους στις πιο πάνω εξισώσεις, προκύπτουν τα αντίστοιχα ζευγάρια τιμών (α,β): (7/2,7/6), (15/4,5/4), (105/26,35/26). Από αυτά μόνο το δεύτερο, που αντιστοιχεί σε (χ,ψ,ζ)=(9,6,1), δίνει τιμές α και β που εκφράζονται αμφότερες με δύο το πολύ δεκαδικά ψηφία, ενώ τα άλλα δύο όχι.
Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι α=15/4=3,75 και β=5/4=1,25
Θανάση, σωστή η απάντησή σου.
ΑπάντησηΔιαγραφή