Οι Δρομείς

Στην φάρμα «Μπάρμπα-Μήτσος» μια φορά το χρόνο διοργανώνονται αγώνες δρόμου «Τα Kαρδάρεια» με συμβολικό έπαθλο μια καρδάρα γάλα. Στα «Kαρδάρεια» λαμβάνουν μέρος όλοι οι δρομείς των γύρω χωριών. Στο αγώνα που έγινε την προηγούμενη Κυριακή, ο Παπαδόπουλος τερμάτισε στην μεσαία θέση της κατάταξης, ο Γεωργίου κατετάγει στην δέκατη θέση και είναι γνωστό ότι ο Παπαδόπουλος τον ξεπέρασε ενώ ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος. Πόσοι δρομείς έλαβαν μέρος;

Λύση

Έστω ν ο αύξων αριθμός της μεσαίας θέσης της κατάταξης τοτε οι δρομεις που τερματισαν πριν από το Παπαδόπουλο είναι:

(ν-1)

Και οι δρομείς που τερμάτισαν μετά από τον Παπαδόπουλο είναι επίσης:

(ν-1)

Έτσι προκύπτει ότι το σύνολο των δρομέων είναι:

(ν-1)+(ν-1)+1=2ν-1

Και προφανώς είναι περιττός αριθμός.

Απο υπόθεση ισχύει ότι:

ν<10 ή 2ν<20 ή 2ν-1<19.

Εξ ορισμού ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος.

Άρα:

2ν-1>=16 ===> 2ν>=16+1 ===> 2ν>=17

Ο μοναδικός περιττός ανάμεσα στο 16 και το 19 είναι ο 17.

Άρα έλαβαν μέρος 17 δρομείς.

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2014/12/n-gauss-large.html#more