Τα Βιβλία

Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.

Ζητούμενα:

(α) Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.

(β) Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι;

Λύση

(α) Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.

χ=5ω+3=6φ-2 => 5(ω+1)=6φ => 5(ω+1-φ)=φ

Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:

90>χ=6*5κ-2>50 => 92>30κ>52 => 92/30>κ>52/30 => 3,06>κ>1,73

Συνεπώς:

κΕ{2,3}

Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία

Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία

(β)Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:

(α)88-3=85=17*5

(β)58-3=55=11*5

οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία,

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Παράρτημα Ροδόπης - 7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016