Οι ΚαραμέλεςIV

Ο Γιώργος και οι φίλοι του έχουν 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασαν μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθένας πήρε ακέραιο αριθμό από καραμέλες. Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψαν το 20% του μεριδίου τους. Έτσι ο Γιώργος πήρε συνολικά περισσότερες από 120 καραμέλες. Να βρείτε πόσα άτομα ήταν συνολικά μαζί με το Γιώργο και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος.

Λύση

Μαζί με τον Γιώργο ήταν συνολικά 5 άτομα. Ο Γιώργος πήρε συνολικά 144 καραμέλες.

Έστω ότι ο Γιώργος και οι φίλοι του ήταν συνολικά «x» άτομα, .όπου x≥4 , από την υπόθεση. Τότε ο καθένας τους αρχικά πήρε:

450/x καραμέλες.(1)

Ο τρεις φίλοι επέστρεψαν στο Γιώργο συνολικά:

3*(20/100)*450/x)=(3*20*450)/100x=270/x καραμέλες (2)

Ο Γιώργος πήρε συνολικά:

(450/x)+(270/x)=720/x καραμέλες (3)

Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος βρίσκουμε ότι:

720/x>120 ---> 120x<720 ---> x<720/120 ---> x<6

Επομένως οι δυνατές τιμές για το «x» είναι x=4 ή x=5.

Όμως η τιμή x=4 απορρίπτεται, γιατί η διαίρεση (450:4=112,5) δεν δίνει ακέραιο πηλίκο.

Άρα είναι x=5 (4)

Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στην (1) και βρίσκουμε ότι αρχικά ο καθ’ ένας πήρε από:

450/x=450/5=90 καραμέλες (5)

Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στη (3) και βρίσκουμε ότι ο Γιώργος πήρε:

720/x=720/5=144 [90+54(18*3)] καραμέλες (πάνω από 120 καραμέλες εξ’ υποθέσεως)

ή (3*20*450)/100x=(3*20*450)/100*5=(3*2*45)/5=270/5=144 καραμέλες

Ο καθ’ ένας από τους τρεις φίλους του επέστρεψε στο Γιώργο:

90*20%=18 καραμέλες

Και συνολικά οι τρεις φίλοι του επέστρεψαν:

18*3=54 καραμέλες

77ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA“Ο ΘΑΛΗΣ”/ 12 Νοεμβρίου 2016 (Γ΄ Γυμνασίου)

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0B3sOOZaW1dRGTUtNMC1ULXBhaTg/view