Το Δημοψήφισμα

Σ΄ ένα χωριό της επαρχίας διεξήχθη δημοψήφισμα σε ποιο σημείο του ποταμού, που χωρίζει το Άνω Χωριό με το κάτω Χωριό, πρέπει να τοποθετηθεί μια γέφυρα.

Στο Άνω Χωριό ψήφισαν «κ» άτομα, όπου «κ» είναι τετραψήφιος αριθμός και παράλληλα τέλειο τετράγωνο.

Ενώ στο διπλανό χωριό, τo Κάτω Χωριό, ψήφισαν «λ» άτομα, όπου ο «λ» είναι επίσης τέλειο τετράγωνο και προκύπτει εάν αυξήσουμε τα ψηφία του αριθμού «κ» κατά μια μονάδα.

Πόσοι ψήφισαν σε κάθε χωριό;

Λύση

Από το Άνω Χωριό ψήφισαν 2.025 άτομα και από το Κάτω Χωριό ψήφισαν 3.136 άτομα. Εάν κ=α^2 και λ=β^2, τότε από υπόθεση προκύπτει η σχέση:

β^2-α^2=1.111 ή (β-α)(β+α)=11*101

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 11 και 101 είναι πρώτοι αριθμοί και επειδή β-α<β+α διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

(Ι)β-α=1 (1)

β+α=1.111 (2)

(ΙΙ)β-α=11 (1)

β+α=101 (2)

Το σύστημα (Ι) δίνει:

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:

β-α=1

β+α=1.111

2β=1.112 ---> β=1.112/2 ---> β=556 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:

β-α=1 ---> 556-α=1 ---> α=556-1 ---> α=555 (4)

Και τα δύο αποτελέσματα απορρίπτονται καθώς τα τετράγωνα τους έχουν περισσότερα από 4 ψηφία.

Το σύστημα (ΙΙ) δίνει:

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:

β-α=11

β+α=101

2β=112 ---> β=112/2 ---> β=56 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:

β-α=11 ---> 56-α=11 ---> α=56-11 ---> α=45 (4)

Οι λύσεις είναι δεκτές καθώς:

45^2=2.025 και 56^2=3.136

Επαλήθευση:

κ=α^2 ---> κ=45^2 ---> κ=2.025

λ=β^2 ---> λ=56&2 ---> λ=3.136

(Ι)β-α=1 ---> 556-555=1

β+α=1.111 ---> 556+555=1.111

(ΙΙ)β-α=11 ---> 56-45=11

β+α=101 ---> 56+45=101

Πηγή:

http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/06/blog-post_25.html