Ο Γαλαξίας

O Δανός αστρονόμος, John Hoffen, το 1870, ανακάλυψε έναν νέο γαλαξία κοντά στον γαλαξία της Ανδρομέδας και τον ονόμασε «Μέδουσα», [μια από τις τρεις Γοργόνες της Μυθολογίας, κόρη του Φόρκυ ή Φορκέα και της Κητούς, αδελφή των Γοργόνων Σθενώ και Ευρυάλη, και των Γραιών Δεινώ, Ενυώ και Πεφρηδώ, ήταν στην αρχή Κενταύρισσα], λόγω του σχήματος που είχε. Για την ανακάλυψη αυτή τιμήθηκε από την Ακαδημία της Δανίας μ’ ένα βραβείο που συνοδευόταν από μια επιταγή μ’ έναν εξαψήφιο αριθμό.

Το πρώτο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το τέταρτο ψηφίο.

Tο δεύτερο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το πέμπτο ψηφίο.

Kαι το τρίτο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το έκτο ψηφίο.

Το ποσό αυτό ήθελε να το διανείμει στα επτά παιδιά του, τα έντεκα εγγόνια του και τα δεκατρία δισέγγονα του.

(α)Ποια είναι η αξία της επιταγής;

(β)Μπορούσε να μοιράσει αυτό το ποσό σε ακέραια ποσά;

(γ)Από πόσα άστρα αποτελείται ο νέος αυτός γαλαξίας;

Διευκρίνιση για την ερώτηση(γ)

Είναι ένας πρώτος αριθμός και το τελευταίο ψηφίο του είναι ο αριθμός 1.

Λύση

Η αξία της επιταγής ήταν 101.101$. Ναι, μπορεί να μοιράσει την αξία της επιταγής σε ακέραια ποσά. Τα επτά παιδιά του θα πάρουν το καθ’ ένα από 14.443$. Τα έντεκα εγγόνια του θα πάρουν το καθ’ ένα από 1.313$. Και το 13 δισέγγονα του θα πάρουν το καθ’ ένα από 101$. Ο γαλαξίας αποτελείται από 101 άστρα. Έστω «x» η αξία της επιταγής που πήρε ο αστρονόμος John Hoffen, η οποία αξία εξ ορισμού ισούται με «x=αβγαβγ» και είναι της μορφής (105α+104β+103γ+102α+101β+γ). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

105α+104β+103γ+102α+101β+γ ---> 105α+102α+104β+101β+103γ+γ ---> 102α(103+1)+10β(103+1)+γ(103+1) ---> (103+1)(102α+10β+γ) --->

(103+1)(100α+10β+γ) ---> (1.000+1)(αβγ) ---> 1.001αβγ (1)

Μετατρέπουμε τον αριθμό 1.001 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:

1.001=7*11*13

Άρα η (1) γίνεται:

1.001αβγ ---> 7*11*13αβγ (2)

Με διερεύνηση βρίσκουμε ότι το «αβγ» αντιστοιχεί στον πρώτο αριθμό 101.

Για τη διερεύνηση βλέπε εδώ:

https://app.box.com/s/tbygnirml1uljgt2aonw7dgbd7v5h2zn

Προβλήματα από το πηγάδι με τους άσσους

Διαγαλαξιακό πρόβλημα θεωρίας αριθμών

Ο Περικλής Πατομπούκαλος-εγνωσμένου κύρους αστρονόμος- έκανε μια σημαντική ανακάλυψη.Πίσω από τον Σείριο 1974 και ανατολικά του Σειρίου 1975 εντόπισε ένα νέο γαλαξία και σκοπεύει να του δώσει το όνομα του. Γαλαξίας Πατομπούκαλος (Φρίκη!!)

• Ο Πατομπούκαλος για την προσφορά του στην επιστήμη των αστεριών τιμήθηκε με το βραβείο Τζένη Αλικάκη και πιστώθηκε στον λογαριασμό του εξαψήφιο χρηματικό ποσό ευρώ ,τέτοιο ώστε, το 1ο ψηφίο είναι ίσο με το 4ο ,το 2ο με το 5ο και το 3ο με το 6ο ψηφίο.Να αποδείξετε ότι αν θέλει ο Πατομπούκαλος μπορεί να μοιράσει το ποσό εξίσου (σε ακέραια ποσά ευρώ) είτε στα 7 παιδιά του,είτε στα 13 εγγόνια του είτε στις 11 γάτες του.

•Πόσα αστέρια αποτελούν το νέο Γαλαξία; Ο Πατομπούκαλος έγραψε στο ημερολόγιο του:

«…Πόσα είναι τα αστέρια; Είναι ένας πρώτος αριθμός από αποτελείται από διαδοχικά 1 και 0 αρχίζει και τελειώνει σε 1….Περίεργο…»

Ποιο είναι το πλήθος των αστεριών του Γαλαξία Πατομπούκαλου;

Μια λύση ΕΔΩ:

https://app.box.com/s/tbygnirml1uljgt2aonw7dgbd7v5h2zn

(Για την ιστορία,το δεύτερο μέρος του προβλήματος χωρίς την ευγενική συμμετοχή του Πατομπούκαλου πιστώνεται στον Πωλ Έρντος και το αναφέρει ο A.Σοιφερ στο εξαιρετικό βιβλίο του με διαγωνιστικά προβλήματα The Colorado Mathematical Olympiad and Further Explorations.Όλα βέβαια ελέγχονται.Τα προβλήματα είναι σαν τα ανέκδοτα άπαξ και ειπωθούν όλοι ασχολούνται με το πρόβλημα και όχι με το δημιουργό του.)

Σημείωση:

Πρόβλημα του Paul Erdős από το βιβλίο του Alexander Soifer με τίτλο: «The Colorado Mathematic Olympiad and Further Explorations», 2011