Πάσχα 2024!!

Η ιστοσελίδα του "Papaveri 48a" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

 

Νέο Έτος 2024!!

Εύχομαι στους φίλους της ιστοσελίδας:

Χ Ρ Ο Ν Ι Α  Π Ο Λ Λ Α!!

Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο

ΚΑΙ  ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ

Τ Ο  Ν Ε Ο  Ε Τ Ο Σ  2 0 24!!

* * * * * * *

H A P P Y  N E W  Y E A R  2 0 24!!

 

Χριστούγεννα 2023!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri48a εύχεται σε όλους:

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και 

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Το Αγρόκτημα

 

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε ως εξής:

-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά 120 από τις κότες μου.»

Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε από το καθ' ένα;

Λύση

Συνολικά είχε 36 ζώα, 2 άλογα, 11 πρόβατα, και 23 κότες. Ή 63 ζώα, 59 άλογα, 2 πρόβατα, και 2 κότες. Έστω «Α» τα άλογα «Π» τα

πρόβατα και «Κ» οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

Π*(Π+Α)=Κ+120 (1)

Εάν «Α», «Π», και «Κ» πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα:

α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 ---> Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2

και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2

β) Κ+120=περιττός αριθμός --->Π*(Π+Α)=περιττός αριθμός --->Π= περιττός και Α=2και η εξίσωση γίνεται:Π*(Π+2)=Κ+120 --->

Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) ---> (Π-10) = 1 ---> Π =11

και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23

Επαλήθευση:

(α) Π*(Π+Α)=Κ+120 === 2*(2+59)=2+120 === 4+118=2+120 === 4+118=122

(β) Π*(Π+Α)=Κ+120 ---> 11*(11+2)=23+120 ---> 11*13=143

.

Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Πρωτομαγιά 2023!!

 

Αντιγράφω το κείμενο από την ιστοσελίδα του Δ. Σπυρόπουλου «Το ιστολόγιο ενός Μαθηματικού και όχι μόνο...», όπου στις τρεις γραμμές του συμπεριλαμβάνει όλο το νόημα της σημερινής ημέρας που δεν είναι ΑΡΓΙΑ, αλλά ΑΠΕΡΓΙΑ!!

*Καλό μήνα και καλή πρωτομαγιά.* *Να είμαστε καλά και να θυμόμαστε τους κοινωνικούς αγώνες των * *εργατών που ανέδειξαν **αυτονόητα δικαιώματα και αντέταξαν ηρωισμό * *απέναντι στην κάθε είδους αυθαιρεσία.......*

Η ιστοσελίδα του «Papaveri48a» σας εύχεται με τη σειρά του Καλό Μήνα και Καλή Πρωτομαγιά!!

Τεστ Μαθηματικών

(α)Τα Χτυπήματα

Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 24ωρο;

(β)Ο Πολλαπλασιασμός

Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών (αμοιβάδων) διπλασιάζεται κάθε μέρα. Σε 8 μέρες ο πληθυσμός αυξήθηκε σε100 εκατομμύρια. Σε πόσες μέρες θα αυξηθεί σε 400 εκατομμύρια;

(γ)Ο Όρος

(i)Δίνεται η παρακάτω σειρά αριθμών 5, 16, 50,…? Ποιος είναι ο επόμενος όρος;

(ii)Ποιοι είναι οι επόμενοι δύο αριθμοί σε αυτήν την ακολουθία: 5, 9, 17, 33, 65,…?

(δ)Τα Αυγά

Πόσα αυγά υπάρχουν στην αυγοθήκη;

Λύση

(α) Τα Χτυπήματα

156 χτυπήματα.

Αθροίζουμε τις 12 ώρες και το άθοισμα το πολλαπλασιάζπυμε με το 2 κι’ έχουμε:

2x(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12) = 2x78 = 156

(β) Ο Πολλαπλασιασμός

Σε 10 ημέρες.Την 9η ημέρα αυξάνεται σε 2*100.000.000=200.000.000. Τη 10 ημέρα αυξάνεται σε 2*200.000.000=400.000.000.

(γ) Ο Όρος

(i)5*3+1=15+1=16

16*3+2=48+2=50

50*3+3=150+3=153

(ii)n+(n-1)

5+4=9

9+2*4=9+8=17

17+2*8=17+16=33

33+2*16=33+32=65

65+2*32=65+64=129

129+2*64=129+128=257

(δ) Τα Αυγά

Υπάρχουν 30 αυγά. Πώς είμαστε σίγουροι;

Υπάρχουν 4 σειρές με 4 αυγά στο κάτω μέρος, που σημαίνει ότι έχει 4*4 = 16 αυγά.

Υπάρχουν 3 σειρές με 3 αυγά στη δεύτερη στρώση, που σημαίνει ότι έχει 3*3 = 9 αυγά.

Υπάρχουν 2 σειρές με 2 αυγά στο στρώμα πάνω από αυτό, που σημαίνει ότι έχει 2*2 = 4 αυγά.

Υπάρχει μόνο ένα αυγό στο επάνω στρώμα.

Όταν προσθέσετε τα αυγά σε όλες τις στρώσεις, τότε θα διαπιστώσετε ότι ο συνολικός αριθμός των αυγών στη θήκη ανέρχεται σε:

16+9+4+1=30

ΠΑΣΧΑ 2023!!

 Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"

Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"

Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or

Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"

                                             * * * * * * * * *

Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948a” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά!

Είθε ο Ανασστημένος Ιησούς Χριστός να φέρει την Αγάπη και την Ειρήνη σ΄όλο τον Κόσμα.

ΠΑΣΧΑ 2023!!

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48a" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Οι Δύο Έμποροι

Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.

Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:

-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ο δεύτερος τότε του λέει:

-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/7 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

x+(y/5)=10,000 (1)

y+(x/7)=10.000 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)

Από την (2) συνάγουμε ότι:

y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)

Από τη (4) συνάγουμε ότι:

7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)

Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:

5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ----> 34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)

Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:

x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)

Επαλήθευση:

x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000

y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Πρόβλημα του Λόγιου μαθηματικού Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο του «Δεύτερη των Επιστολών», που γράφτηκε το 1341. Ο Ευάγγελος Σταμάτης τον χαρακτήρζε ως τον «Πρίγκιπα της Βυζαντινής Αριθμητικής».

Η Πιθανότητα

Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια;

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:

P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5

Η πιθανότητα να πιαστεί είναι:

0.5*0.5=0.25

Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι:

1−0.25=0.75

Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!

Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα να έχουν πιαστεί είναι:

5*0.5=2.5 μύγες

Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι:

(3−2.5)* 0.5=0.25

Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:

1−0.25=0.75