Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης, έχουν ένα κουτί με καραμέλες. Ο Γιάννης παίρνει από το κουτί κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα 3/4 και τις υπόλοιπες, από αυτές που πήρε, τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες καραμέλες που έμειναν στο κουτί, κρατάει το 1/12 και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά ο καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει το κουτί.
Έστω ότι το Γιάννης παίρνει «γ» καραμέλες από τις οποίες κρατάει τα 3γ/4 και δίνει στο Βαγγέλη τα γ/4. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «γ» να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Έστω ότι ο Βαγγέλης παίρνει «β» καραμέλες, κρατάει τα β/12 και δίνει στο Γιάννη τα 11β/12. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «β» να είναι πολλαπλάσιο του 12.
Ο Γιάννης έχει:
(3γ/4)+(11β/12)=(3*3γ+11β)/12= (9γ+11β)/12 καραμέλες
Και ο Βαγγέλης, έχει:
(γ/4)+(β/12)= (3γ+β)/12 καραμέλες
Αφού ο Γιάννης θα έχει τελικά εξαπλάσιες καραμέλες από το Βαγγέλη έχουμε την εξίσωση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) (1)
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9γ+11β=18γ+6β ---> 11β-6β=18γ-9γ ---> 5β=9γ (2)
Διερεύνηση:
Οι ελάχιστοι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες είναι γ=20 και β=36, οπότε το κουτί περιέχει τουλάχιστον 56 καραμέλες.
Επαλήθευση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9*20+11*36=6*(3*20+36) ---> 180+396=6*(60+36) ---> 576=6*96
5β=9γ ---> 5*36=9*20 ---> 180=9*20
Πηγή:
76ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ” (16 Ιανουαρίου 2016) (Πρόβλημα 4/Γ΄ Γυμνασίου)
168
ΑπάντησηΔιαγραφήΜιχάλη, δες το πάλι. Δεν είναι σωστή η λύση που έδωσες.😮😒
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν χ καραμέλες μοίρασε ο Γιάννης και ψ ο Βαγγέλης, πρέπει:
Διαγραφή3χ/4+11ψ/12=6(χ/4+ψ/12) => χ/ψ=5/9, με χ πολλαπλάσιο του 4 και ψ πολλαπλάσιο του 12. Το ελάχιστο πολλαπλάσιο του 9 που είναι πολλαπλάσιο του 12 είναι το 36, άρα ελάχιστο ψ=4*9=36, ελάχιστο χ=4*5=20 και ελάχιστο χ+ψ=56
Θανάση, σωστή η απάντησή σου!!
ΔιαγραφήΑς είναι x οι καραμέλες του κουτιού.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ Γιάννης παίρνει y ,από τις οποίες κρατάει 3y/4 και δίνει στον Βαγγέλη y/4
Ο Βαγγέλης παίρνει x-y, από τις οποίες κρατάει (x-y)/12 και δίνει στον Γιάννη 11(x-y)/12
Άρα, βρέθηκαν να έχουν ο Γιάννης 3y/4 +11(x-y)/12=(11x-2y)/12 καραμέλες και ο Βαγγέλης y/4 +(x-y)/12=(x+2y)/12 καραμέλες
Συνεπώς, είναι 11x-2y=6(x+2y) και άρα 5x=14y (1)
Πρέπει ο y/4 να είναι θετικός ακέραιος, άρα το y είναι πολλαπλάσιο του 4
Πρέπει ο y να είναι πολλαπλάσιο του 5, προκύπτει από (1), εφόσον ΜΚΔ (5,14)=1
Άρα, ο y είναι πολλαπλάσιο του 20 (2)
Επιπλέον, ο (x-y)/12 που ισούται με 3x/56 πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, οπότε πρέπει x=πολλ.56
Οπότε η ελάχιστη δυνατή ποσότητα καραμελών που είχε αρχικά το βάζο είναι 56
Καληνύχτα παιδιά.
Μιχάλη, σωστή η απάντησή σου!!
Διαγραφή