Δευτέρα 23 Ιανουαρίου 2023

Οι Καραμέλες ΙΙΙ (Συνέχεια...)

Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης, έχουν ένα κουτί με καραμέλες. Ο Γιάννης παίρνει από το κουτί κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα 3/4 και τις υπόλοιπες, από αυτές που πήρε, τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες καραμέλες που έμειναν στο κουτί, κρατάει το 1/12 και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά ο καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει το κουτί.

Λύση

6 σχόλια:

  1. Μιχάλη, δες το πάλι. Δεν είναι σωστή η λύση που έδωσες.😮😒

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αν χ καραμέλες μοίρασε ο Γιάννης και ψ ο Βαγγέλης, πρέπει:
      3χ/4+11ψ/12=6(χ/4+ψ/12) => χ/ψ=5/9, με χ πολλαπλάσιο του 4 και ψ πολλαπλάσιο του 12. Το ελάχιστο πολλαπλάσιο του 9 που είναι πολλαπλάσιο του 12 είναι το 36, άρα ελάχιστο ψ=4*9=36, ελάχιστο χ=4*5=20 και ελάχιστο χ+ψ=56

      Διαγραφή
    2. Θανάση, σωστή η απάντησή σου!!

      Διαγραφή
  2. Ας είναι x οι καραμέλες του κουτιού.
    Ο Γιάννης παίρνει y ,από τις οποίες κρατάει 3y/4 και δίνει στον Βαγγέλη y/4
    Ο Βαγγέλης παίρνει x-y, από τις οποίες κρατάει (x-y)/12 και δίνει στον Γιάννη 11(x-y)/12
    Άρα, βρέθηκαν να έχουν ο Γιάννης 3y/4 +11(x-y)/12=(11x-2y)/12 καραμέλες και ο Βαγγέλης y/4 +(x-y)/12=(x+2y)/12 καραμέλες
    Συνεπώς, είναι 11x-2y=6(x+2y) και άρα 5x=14y (1)
    Πρέπει ο y/4 να είναι θετικός ακέραιος, άρα το y είναι πολλαπλάσιο του 4
    Πρέπει ο y να είναι πολλαπλάσιο του 5, προκύπτει από (1), εφόσον ΜΚΔ (5,14)=1
    Άρα, ο y είναι πολλαπλάσιο του 20 (2)
    Επιπλέον, ο (x-y)/12 που ισούται με 3x/56 πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, οπότε πρέπει x=πολλ.56
    Οπότε η ελάχιστη δυνατή ποσότητα καραμελών που είχε αρχικά το βάζο είναι 56
    Καληνύχτα παιδιά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή