Οι Τρεις Παλινδρομικοί Αριθμοί

Υπάρχουν τρεις παλινδρομικοί* αριθμοί. Ο πρώτος αριθμός αποτελείται από δύο ψηφία. Ο δεύτερος αποτελείται από τρία ψηφία. Εάν προσθέσουμε τους δύο αριθμούς μαζί, τότε προκύπτει ένας τετραψήφιος παλινδρομικός αριθμός. Ποιοι είναι οι τρεις αυτοί παλινδρομικοί αριθμοί;

Επεξήγηση:

*Παλινδρομικός ή καρκινικός αριθμός καλείται ο αριθμός που δηλώνει την παλινδρομική ή καρκινική όμοια εκφορά του αριθμού, από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή π.χ. ο αριθμός 838 είναι παλινδρομικός ή καρκινικός.

Λύση

Ο τριψήφιος αριθμός οφείλει να είναι μεγαλύτερος από 900, διαφορετικά δε γίνεται να υπερβεί το 1.000 εάν προστεθεί με ένα διψήφιο. Αφού είναι παλινδρομικός, δε μπορεί παρά να είναι της μορφής 9x9 (9 εκατοντάδες, χ δεκάδες και 9 μονάδες). Ο διψήφιος παλινδρομικός αριθμός προφανώς είναι της μορφής ψψ (ψ δεκάδες και ψ μονάδες). Ο τετραψήφιος αριθμός είναι το άθροισμα τριψήφιου και διψήφιου, επομένως δε μπορεί παρά το πρώτο του ψηφίο (χιλιάδες) να είναι 1 και το δεύτερο ψηφίο (εκατοντάδες) να είναι 0. Δεδομένου, λοιπόν, ότι είναι παλινδρομικός, δε μπορεί παρά να είναι ο 1001. Προσθέτοντας τον τριψήφιο και το διψήφιο αριθμό, κατ' αρχήν προσθέτονται οι μονάδες, δηλαδή 9+ψ. Παρατηρώντας το άθροισμα 1001, γίνεται φανερό 9+ψ=11, ώστε να προκύψει το 1 ως τελευταίο ψηφίο (ή ψηφίο μονάδων) του αθροίσματος, καθώς και το 1 ως κρατούμενο για να προστεθεί στις δεκάδες.

Αφού 9+ψ=11, τότε ψ=2, επομένως ο διψήφιος αριθμός είναι το 22.

Ο τριψήφιος αριθμός της μορφής 9χ9 ισούται με 900+χ*10+9, ενώ το άθροισμα των δυο είναι:

(900+χ*10+9)+22=1001.

Η λύση είναι χ=7, επομένως ο τριψήφιος αριθμός είναι το 979.

(A.)22

(B.)979

22+979=1001