Η Απόσταση

 

Ένας μοναχός στο Άγιο Όρος που μένει στη μονή «Α» επισκέπτεται τον πνευματικό του που μένει στη μονή «Β» και επιστρέφει από τον ίδιο δρόμο.

Στα ανηφορικά τμήματα της διαδρομής περπατάει με ταχύτητα 2 χιλιόμετρα την ώρα

Στα επίπεδα τμήματα της διαδρομής περπατάει με 3 χιλιόμετρα την ώρα.

Και στα κατηφορικά τμήματα της διαδρομής περπατάειμε 6 χιλιόμετρα την ώρα.

Αν περπάτησε συνολικά 6 ώρες, πόση είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο μονές;

Λύση

Η απόσταση από τη μονή «Α» έως την μονή «Β» είναι 9χλμ. Έστω «x» τα ανηφορικά τμήματα, «y» τα επίπεδα τμήματα, και «z» τα κατηφορικά τμήματα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος, έπειδή η διαδρομή είναι ίδια, έχουμε την εξίσωση:

[x/2+y/3+z/6] + [z/2+y/3+x/6] =6 ---> [3x+2y+z]+[3z+2y+x]=6*6 ---> 4x+4y+4z=36 --->

4*(x+y+z)=36/4 ---> (x+y+z)=9

Πηγή: http://users.sch.gr/anitus/01_arhiki/therina_provlimata_2015/8_week/therino_periodiko_84.pdf

Τα Πουλιά

Σε τρία δένδρα έχουν καθίσει 36 αποδημητικά πουλιά για να ξεκουραστούν και να συνεχίσουν το ταξίδι τους.

Από το πρώτο δένδρο πέταξαν στο δεύτερο δένδρο 6 πουλιά.

Από το δεύτερο δένδρο πέταξαν στο τρίτο δένδρο 4 πουλιά.

Τώρα και στα τρία δένδρα υπάρχει ίδιος αριθμός πουλιών.

Πόσα πουλιά ήταν αρχικά σε κάθε δένδρο και πόσα ήταν μετά την μεταβολή;

Λύση

Αρχικά σε κάθε δένδρο ήταν 18, 10, και 8 πουλιά αντίστοιχα, μετά τις μεταβολές κάθε δένδρο είχε 12 πουλιά. Έστω «αβγ» τα τρία δένδρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α+β+γ=36 (1)

α-6=ω (2)

β+6-4=ω (3)

γ+4=ω (4)

Από τις (2), (3), και (4) συνάγομε ότι:

α-6=ω ---> α=ω+6 (5)

β+6-4=ω ---> β=ω-6+4 ---> β=ω-2 (6)

γ+4=ω ---> γ=ω-4 (7)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (5), (6), και (7) κι’ έχουμε:

α=ω+6

β=ω-2

γ=ω-4

α+β+γ=3ω (8)

Αντικαθιστούμε την (8) στην (1) κι’ έχουμε:

α+β+γ=36 ---> 3ω=36 ---> ω=36/3 ---> ω=12 (9)

Αντικαθιστούμε την (9) στις (5), (6), και (7) κι’ έχουμε:

α=ω+6 ---> α=12+6=18

β=ω-2 ---> β=12-2=10

γ=ω-4 ---> γ=12-4=8

Επαλήθευση:

α+β+γ=36 ---> 18+10+8=36

Η Πιθανότητα 2

Η πιθανότητα ότι ένας αφηρημένος μαθηματικος θα ξεχάσει τα γραπτά στο λεωφορείο είναι 1/5. Αν υποθέσουμε ότι ο μαθηματικος παίρνει δυο λεωφορεια για να επιστρέψει σπίτι και ότι ξεχνά τα γραπτά σε ένα από αυτά, ποια είναι η πιθανότητα να τα ξέχασε στο πρώτο λεωφορειο;

Λύση

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με:

5/9 ≈ 55.5555556%

Νέο Έτος 2023!!

Εύχομαι στους φίλους της ιστοσελίδας:

Χ Ρ Ο Ν Ι Α Π Ο Λ Λ Α!!

Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ ΤΟ ΝΕΟ ΕΤΟΣ 2023!!

* * * * * * *

H A P P Y N E W Y E A R 2023!!

Η Πιθανότητα 1

Στην πιτσαρία «Il Gusto»,όλες οι πίτσες έχουν τυρί και σάλτσα ντομάτας.

Υλικά που μπορούν να επιλεγούν επιπλέον είναι:

Mαύρες ελιές, αντσούγιες, και λουκάνικο.

Από τους 200 πελάτες που πήραν πίτσα την χθεσινή μέρα από την πιτσαρία επέλεξαν τα εξής υλικά:

Oι 40 να βάλουν αντσούγιες στην πίτσα τους.

Oι 80 να βάλουν μαύρες ελιές.

Oι 120 να βάλουν λουκάνικο.

Kαι οι 60 να βάλουν μαύρες ελιές και λουκάνικο.

Kανένας δεν επέλεξε να βάλει στην πίτσα του μαύρες ελιές με αντσούγιες ή αντσούγιες μαζί με λουκάνικο.

Αν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους 200 πελάτες,ποια είναι η πιθανότητα να αγόρασε πίτσα με τυρί και σάλτσα ντομάτας;

Λύση

Έστω «y» ο αριθμός των πελατών που έβαλαν ένα τουλάχιστον επιπλέον υλικό από τα 3 (μαύρες ελιές, αντσούγιες, λουκάνικο) τότε από την υπόθεση θα ισχύει y=40+x , όπου «x» ο αριθμός των πελατών που έβαλαν μαύρες ελιές ή λουκάνικο( ή και τα δυο). Υπάρχουν 60 πελάτες που επέλεξαν μαύρες ελιές και λουκάνικο, έτσι 20=80-60 επέλεξαν μαύρες ελιές και τίποτα άλλο. Ανάλογα, 60=120-60 πελάτες έβαλαν λουκάνικο και τίποτα άλλο. Οπότε,y=40+x=40+(20+60+60)=180, άρα ο αριθμός των πελατών που δεν έβαλαν κανένα από τα 3 υλικά ( μαύρες ελιές, λουκάνικο και αντσούγιες) είναι 200-y=20 ---> 200-180=20. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 20/200=0,10 ή 10%

Το παρακάτω διάγραμμα Venn δίνει την λύση πολύ πιο εύληπτα.

Και η λύση του αείμνηστου Ευθύμιου Αλεξίου:

200=Χ(τυρί+σάλτσα ντομάτας)+40(+αντζούγια)+80(+μ. ελιές)+120(+λουκάνικο)-60(μ. ελιές+λουκάνικο)-0(μ. ελιές+αντζούγιες)-0(αντζούγιες+λουκάνικο)+ 0(ελιές+αντζούγιες+λουκάνικο) ---> Χ=20 ---> Π=20/200=0.10

Πηγη: http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/09/yogi-berra.html

Χριστούγεννα 2022!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri48a εύχεται σε όλους:

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και 

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Οι Πτήσεις

Τις τέσσερις πρώτες πτήσεις που έγιναν με διπλάνο, τις έκαναν δύο αδέλφια. Ο πρώτος, πέταξε 37μέτρα την πρώτη φορά και 179μέτρα τη δεύτερη. Ο αδελφός του, πέταξε 116μέτρα τη πρώτη φορά και 290μέτρα τη δεύτερη. Χρησιμοποιώντας το μέσο όρο των αποστάσεων που πέταξαν και τα δύο αδέλφια, στις τέσσερις πτήσεις που έκαναν εκείνη την ημέρα, πόσες πτήσεις έπρεπε να κάνουν, αν ήθελαν να διανύσουν το γύρο του κόσμου;

Διευκρίνιση:

Η περίμετρος του Ισημερινού είναι 40.077χιλιόμετρα.

Σημείωση:

Το πρόβλημα αναφέρεται στους δύο πρωτοπόρους εφευρέτες του αεροπλάνου αδελφούς Ράϊτ (Orville και Wilbur Wright). Το διπλάνο τους «Flyer» έφερε κινητήρα 12 ίππων που κινούσε δύο έλικες. Η πτήση εκτελέστηκε με τέσσερις δοκιμές, διάρκειας 12, 13, 15 και 59 δευτερολέπτων. Κατά την τελευταία διανύθηκε απόσταση 260 μέτρων.

Λύση

Συνολικά μέτρα πτήσεων:

37+179+116+290=622μέτρα

Μετατρέπουμε τα μέτρα σε χιλιόμετρα κι’ έχουμε:

622:1.000=0,622χιλιόμετρα

Μέσος Όρος (Μ.Ο.)=0,622:4=0,1555χιλιόμετρα

Συνολικές πτήσεις που έπρεπε να κάνουν για το γύρο της Γης:

40.077:0,1555=257.729,90353697749196141479099678 πτήσεις ---> ≈ 257.730 πτήσεις.

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/08/blog-post_56.html

Οι Βώλοι

Διαθέτουμε 4 σωρούς από βώλους, όπου κάθε σωρός αποτελείται από 6, 8, 8, και 9 βώλους αντίστοιχα. Πέντε παίχτες που τους συμβολίζουμε 1, 2, 3, 4, και 5 αντίστοιχα παίζουν σε διαδοχικούς γύρους με αυτήν την σειρά. Σε κάθε γύρο διαλέγουν ένα σωρό από βώλους και τον χωρίζουν σε δυο μικρότερους. Χαμένος είναι ο παίκτης που δεν θα μπορεί να χωρίσει το σωρό σε δύο μικρότερους σωρούς. Υπάρχει στρατηγική για τον νικητή;

Λύση

Το άθροισμα των βόλων είναι 6+8+8+9=31, έχουμε 4 σωρούς και σε κάθε γύρο το πλήθος των σωρών αυξάνει κατά 1 .Άρα πρόκειται να πραγματοποιηθούν 31-4=27 γύροι .Οι παίκτες παίζουν με την σειρά 1, 2, 3, 4, και 5 οπότε αν διαιρέσουμε το 27 με το 5 μένει υπόλοιπο 2. Άρα ο 2ος είναι ο τελευταίος παίκτης που θα μπορέσει να χωρίσει το σωρό σε δύο μικρότερους σωρούς, οπότε ο παίκτης 3 χάνει!!

(Από μαθηματικό διαγωνισμό στη Σιγκαπούρη το 2006)

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/09/yogi-berra.html

Η Ηλικία

Η κυρία Ζωή έχει τρία ανίψια την Άννα, 11 ετών, την Βούλα, 21 ετών, και τον Βαγγέλη, 27 ετών. Πόσο χρονών είναι η κυρία Ζωή;

Λύση

Η κυρία Ζωή είναι 67 ετών. Η ηλικία προκύπτει από την αριθμητική αξία του πρώτου και του τελευταίου γράμματος κάθε ονόματος.

ΖωΗ ---> 6ω7 ---> 67 ετών.

ΑννΑ ---> 1νν1 ---> 11 ετών.

ΒούλΑ ---> 2ουλ1 ---> 21 ετών.

ΒαγγελΗ ---> 2αγγελ7 ---> 27 ετών.

Πηγή: http://www.grifoi.gr/ta-tria-anipsia/

Η Ισότητα

 

Πως είναι δυνατόν το άθροισμα (10+4) να ισούται με 2;

Λύση

Οι αριθμοί παριστάνουν μονάδες χρόνου. Οπότε έχουμε:

10π.μ. + 4 ώρες = 2 μ.μ. (14)

10μ.μ. + 4ώρες = 2π.μ.

Πηγή: http://dailybrainteaser.blogspot.gr/2013_08_01_archive.html