Κυλιόμενη Σκάλα

Όταν ο καθηγητής Stanislaw Slapenarski, Πολωνός μαθηματικός, κατεβαίνει μία κυλιόμενη σκάλα φτάνει κάτω, αφού έχει πατήσει 50 σκαλιά. Στη συνέχεια ανεβαίνει ένα ένα τα σκαλιά αλλά πιο γρήγορα και φτάνει πάνω αφού έχει πατήσει 125 σκαλιά. Αν υποθέσουμε ότι ανέβηκε 5 φορές πιο γρήγορα από ότι κατέβηκε (δηλαδή έκανε πέντε βήματα για κάθε ένα βήμα πριν) και ότι η η ταχύτητα του σε κάθε μία από τις διαδρομές του ήταν σταθερή, τότε πόσα σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει?

Λύση

Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα πάνω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα κάτω απλά θα βγει x<0).

Για να ανέβει ο καθηγητής θέλει: 50/1=50 δευτερόλεπτα.

Για να κατέβει ο καθηγητής θέλει:125/5=25 δευτερόλεπτα.

Στο ανέβασμα:

50+50x=μ

(50 σκαλοπάτια ο καθηγητής και 50x σκαλοπάτια λόγω κίνησης της σκάλας ίσον «μ» συνολικός αριθμός σκαλοπατιών της σκάλας)

Στο κατέβασμα:

125-25x=μ

άρα 50+50x=μ ===> 50+50x=125-25x ===> 50x+25x=125–50 ===> 75x=75 ===> x=75/75 ===> x=1

άρα 125-25x=μ ===> 125–25*1=μ ===> 125–25=μ ===> μ=100 σκαλιά

Πρόβλημα του Martin Gardner

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-ost_5858.html#comment-form

Οι Δρομείς

Στην φάρμα «Μπάρμπα-Μήτσος» μια φορά το χρόνο διοργανώνονται αγώνες δρόμου «Τα Kαρδάρεια» με συμβολικό έπαθλο μια καρδάρα γάλα. Στα «Kαρδάρεια» λαμβάνουν μέρος όλοι οι δρομείς των γύρω χωριών. Στο αγώνα που έγινε την προηγούμενη Κυριακή, ο Παπαδόπουλος τερμάτισε στην μεσαία θέση της κατάταξης, ο Γεωργίου κατετάγει στην δέκατη θέση και είναι γνωστό ότι ο Παπαδόπουλος τον ξεπέρασε ενώ ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος. Πόσοι δρομείς έλαβαν μέρος;

Λύση

Έστω ν ο αύξων αριθμός της μεσαίας θέσης της κατάταξης τοτε οι δρομεις που τερματισαν πριν από το Παπαδόπουλο είναι:

(ν-1)

Και οι δρομείς που τερμάτισαν μετά από τον Παπαδόπουλο είναι επίσης:

(ν-1)

Έτσι προκύπτει ότι το σύνολο των δρομέων είναι:

(ν-1)+(ν-1)+1=2ν-1

Και προφανώς είναι περιττός αριθμός.

Απο υπόθεση ισχύει ότι:

ν<10 ή 2ν<20 ή 2ν-1<19.

Εξ ορισμού ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος.

Άρα:

2ν-1>=16 ===> 2ν>=16+1 ===> 2ν>=17

Ο μοναδικός περιττός ανάμεσα στο 16 και το 19 είναι ο 17.

Άρα έλαβαν μέρος 17 δρομείς.

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2014/12/n-gauss-large.html#more

Ο Διαχωρισμός

 

(α) Ένας γεωργός θέλει να μοιράσει το ανωτέρω οικόπεδο στα τέσσερα παιδιά του.

Μπορείτε να χωρίσετε το οικόπεδο σε 4 ίσα και ίδιου σχήματος μέρη;

(β) Εάν ο ίδιος γεωργός είχε 9 παιδιά, πως θα το μοίραζε σε 9 ίσα και ίδιου σχήματος μέρη;

Λύση

Η λύση για το «Α» του αείμνηστου του Ευθύμιου Αλεξίου:

Το οικόπεδο είναι σχήματος "γάμα" και αποτελείται από τρία τετράγωνα, έτσι θα το χωρίσουμε σε 4 ίσα και ίδιου σχήματος "γάμα", όμοια προς το αρχικό και τα οποία θα αποτελούνται από 3 μικρά τετράγωνα (πλευρών 1/2 των πλευρών των τετραγώνων του όλου οικοπέδου και προφανώς Ε=1/4). Το 1ο "γάμα" μικρό οικόπεδο το σχηματίζουμε πέριξ της εσωτερικής κορυφής του όλου οικοπέδου και τα άλλα τρία πέριξ αυτού και ανά ένα με κορυφές την κάτω και αριστερά κορυφή, την πάνω και αριστερά κορυφή και την πάνω και δεξιά κορυφή του όλου οικοπέδου.

Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2013/04/blog-post_9764.html

Η Ειδικότητα

Τέσσερις φίλοι, ο Κώστας, ο Λάμπρος, ο Μηνάς και ο Νίκος, εργάζονται σε ένα Νοσοκομείο.

Οι ειδικότητές τους είναι: αναισθησιολόγος, βιοχημικός, γυναικολόγος και δερματολόγος.

Ξέρουμε ότι:

Τι ειδικότητα έχει ο καθένας από τους τέσσερεις φίλους;

Λύση

1.Από τη δεύτερη πρόταση συμπεραίνουμε ότι ο Λάμπρος είναι γυναικολόγος.

2.Στη τρίτη πρόταση ο αναισθησιολόγος δεν λέγεται Λάμπρος, διότι ο Λάμπρος είναι γυναικολόγος, άρα λέγεται Κώστας, όπου στη πρώτη πρόταση αναφέρει ότι είναι γιατρός.

3.Από τη τέταρτη πρόταση συμπεραίνουμε ότι ο δερματολόγος ονομάζεται Μηνάς.

4.Από τη τέταρτη πρόταση συμπεραίνουμε ότι ο Νίκος εφόσον δεν είναι δερματολόγος είναι βιοχημικός.

Τα Μίλια

Δυο ταχυδρόμοι, ο Α και ο Β, που απέχουν μεταξύ τους 59μίλια, ξεκινούν ένα πρωί για να συναντηθούν.

Ο Α καλύπτει 7μίλια σε δυο ώρες, ενώ ο Β καλύπτει 8μίλια σε τρεις ώρες.

Αν Β ξεκινά μια ώρα αργότερα από τον Α, βρείτε πόσα μίλια θα διανύσει ο Α μέχρι να συναντηθούν;

Λύση

Ο ταχυδρόμος «Α» θα διανύσει 35 χιλιόμετρα μέχρι να συναντήσει τον ταχυδρόμο «Β». Χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό και γράφουμε τις δοσμένες αριθμητικές τιμές εντός παρενθέσεων:

α) (7/2) είναι η ταχύτητα του Α.

β) (8/3) είναι η ταχύτητα του Β.

γ) (1) πόσες ώρες καθυστέρει ο Β να ξεκινήσει.

δ) (59) η απόσταση (ΑΒ) των δυο σημείων αφετηρίας.

Αν χ και y οι αποστάσεις από τα σημεία αφετηρίας των Α ,Β με το σημείο συνάντησης έχουμε τις εξισώσεις:

x+y =δ (1)

(x/α)-(y/β)=γ (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

x+y=δ ---> y=δ-x (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

(x/α)-(y/β)=γ ---> (x/α)-(δ-x)/β=γ ---> βx-αδ+αx=γαβ ---> βx+αx=γαβ+αδ --->

x(β+α)=α(γβ+δ) ---> x=α(γβ+δ)/(β+α) (4)

Αντικαθιστούμε στη (4) τα (α, β, γ, και δ) με τις αντίστοιχες τιμές κι’ έχουμε:

x=α(γβ+δ)/(β+α) ---> x=(7/2)*(1*(8/3)+59)/[(8/3)+(7/2)] --->

x=(7/2)*[(8/3)+59]/[(8/3)+(7/2)] ---> x=(7/2)*[(8+59*3)/3]/[(8/3)+(7/2)] --->

x=[(7/2)*(8+177)/3]/[(2*8)+(3*7)]/(3*2) ---> x=[(7/2)*(185)/3]/[(16+21)/6] --->

x=[(7*185)/2*3]/(37/6) ---> x=(1.295/6)/(37/6) ---> x=(1.295*6)/(37*6) ---> x=1295/37 ---> x=35 (5)

Αντικαθιστούμε στη (3) τα (δ, και x) με τις αντίστοιχες τιμές κι’ έχουμε:

y=δ-x ---> y=59-35 ---> y=24 (6)

Επαλήθευση:

x+y =δ ---> 35+24=59

(x/α)-(y/β)=γ ---> [35/(7/2)]-[24/(8/3)]=1 ---> [(35*2)/7]-[(24*3)/8]=1 --->

(70/7)-(72)/8=1 ---> 10-9=1 ο.ε.δ.

(Isaac Newton, Universal arithmetic or, a treatise of arithmetical composition and resolution, 1720)

http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/10/blog-post_26.html

Οι Ραβδισμοί

Κάποτε παρουσίασαν στον Κατή της Βασόρας (Πόλη του Ιρακ) έναν κλέφτη, τον Aladin, ο οποίος είχε κλέψει 144 κότες. Επειδή ο Κατής ήταν πονόψυχος, αποφάσισε να τον τιμωρήσει ως εξής:

Κατής:Να χωρίσεις τις 144 κότες σε ομάδες που η κάθε μία να περιέχει τον ίδιο αριθμό πουλερικών. Έπειτα θα δεχθείς τόσους ραβδισμούς όσο το άθροισμα του αριθμού των ομάδων και του αριθμού των πουλερικών κάθε ομάδας.

O Alandin κάνοντας έναν έξυπνο υπολογισμό, κατάφερε να δεχθεί τους λιγότερους ραβδισμούς. Πόσοι ήταν αυτοί;

Λύση

Οι ραβδισμοί ήταν 12. Η τετραγωνική ρίζα του 144 είναι το 12 (sqrt[144]=12) ή το τετράγωνο του δώδεκα ισούται με 144 (12^2=144). Οπότε, ο Aladin, χώρισε τις κότες σε 12 ομάδες από 12 κότες την κάθε μια και δέχθηκε:

12+12=24 ραβδισμούς

αντί για 144 ραβδισμούς.

Το Συρματόπλεγμα

Δύο αδέρφια, ο Κώστας και ο Γιάννης, αγόρασαν ένα οικόπεδο σχήματος τετραγώνου, που έχει περίμετρο 200μέτρα. Αφού το χώρισαν σε δύο ορθογώνια, ανάλογα με τα χρήματα που διέθεσε ο καθένας για την αγορά, ο Κώστας περιέφραξε το δικό του κομμάτι χρησιμοποιώντας 160μέτρα συρματόπλεγμα. Πόσα μέτρα ίδιο συρματόπλεγμα θα χρειαστεί ο Γιάννης για να περιφράξει το δικό του κομμάτι;

Λύση

Ο Γιάννης θα χρειασθεί 90μ. συρματόπλεγμα για να περιφράξει το οικόπεδό του. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος λέει ότι «...το οικόπεδο το χώρισαν σε δύο ορθογώνια, ανάλογα με τα χρήματα που διέθεσε ο καθένας για την αγορά....», βλέπε σχήμα ανωτέρω, έχουμε:

Οικόπεδο Κώστα:Περίμετρος=2α+2β=[(2*30)+(2*50)]=60+100=160μ.

Λόγω του ότι η μια πλευρά του οικοπέδου είναι ήδη περιφραγμένη (κοινή με του Κώστα το οικόπεδο) ο Γιάννης θα χρειαστεί συρματόπλεγμα για να περιφράξει το δικό του:

Οικόπεδο Γιάννη: Περίμετρος=2α+1*β=[2*20)+50]=40+50=90μ.

Σημείωση: Για την περίφραξη της κοινής πλευράς των 50μ.πλήρωσαν και οι δύο την αξία των 25μ που αντιστοιχεί στον καθ‘ ένα (2*25μ.=50μ.).

Η Απόσταση

 

Ένας μοναχός στο Άγιο Όρος που μένει στη μονή «Α» επισκέπτεται τον πνευματικό του που μένει στη μονή «Β» και επιστρέφει από τον ίδιο δρόμο.

Στα ανηφορικά τμήματα της διαδρομής περπατάει με ταχύτητα 2 χιλιόμετρα την ώρα

Στα επίπεδα τμήματα της διαδρομής περπατάει με 3 χιλιόμετρα την ώρα.

Και στα κατηφορικά τμήματα της διαδρομής περπατάειμε 6 χιλιόμετρα την ώρα.

Αν περπάτησε συνολικά 6 ώρες, πόση είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο μονές;

Λύση

Η απόσταση από τη μονή «Α» έως την μονή «Β» είναι 9χλμ. Έστω «x» τα ανηφορικά τμήματα, «y» τα επίπεδα τμήματα, και «z» τα κατηφορικά τμήματα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος, έπειδή η διαδρομή είναι ίδια, έχουμε την εξίσωση:

[x/2+y/3+z/6] + [z/2+y/3+x/6] =6 ---> [3x+2y+z]+[3z+2y+x]=6*6 ---> 4x+4y+4z=36 --->

4*(x+y+z)=36/4 ---> (x+y+z)=9

Πηγή: http://users.sch.gr/anitus/01_arhiki/therina_provlimata_2015/8_week/therino_periodiko_84.pdf

Τα Πουλιά

Σε τρία δένδρα έχουν καθίσει 36 αποδημητικά πουλιά για να ξεκουραστούν και να συνεχίσουν το ταξίδι τους.

Από το πρώτο δένδρο πέταξαν στο δεύτερο δένδρο 6 πουλιά.

Από το δεύτερο δένδρο πέταξαν στο τρίτο δένδρο 4 πουλιά.

Τώρα και στα τρία δένδρα υπάρχει ίδιος αριθμός πουλιών.

Πόσα πουλιά ήταν αρχικά σε κάθε δένδρο και πόσα ήταν μετά την μεταβολή;

Λύση

Αρχικά σε κάθε δένδρο ήταν 18, 10, και 8 πουλιά αντίστοιχα, μετά τις μεταβολές κάθε δένδρο είχε 12 πουλιά. Έστω «αβγ» τα τρία δένδρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α+β+γ=36 (1)

α-6=ω (2)

β+6-4=ω (3)

γ+4=ω (4)

Από τις (2), (3), και (4) συνάγομε ότι:

α-6=ω ---> α=ω+6 (5)

β+6-4=ω ---> β=ω-6+4 ---> β=ω-2 (6)

γ+4=ω ---> γ=ω-4 (7)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (5), (6), και (7) κι’ έχουμε:

α=ω+6

β=ω-2

γ=ω-4

α+β+γ=3ω (8)

Αντικαθιστούμε την (8) στην (1) κι’ έχουμε:

α+β+γ=36 ---> 3ω=36 ---> ω=36/3 ---> ω=12 (9)

Αντικαθιστούμε την (9) στις (5), (6), και (7) κι’ έχουμε:

α=ω+6 ---> α=12+6=18

β=ω-2 ---> β=12-2=10

γ=ω-4 ---> γ=12-4=8

Επαλήθευση:

α+β+γ=36 ---> 18+10+8=36

Η Πιθανότητα 2

Η πιθανότητα ότι ένας αφηρημένος μαθηματικος θα ξεχάσει τα γραπτά στο λεωφορείο είναι 1/5. Αν υποθέσουμε ότι ο μαθηματικος παίρνει δυο λεωφορεια για να επιστρέψει σπίτι και ότι ξεχνά τα γραπτά σε ένα από αυτά, ποια είναι η πιθανότητα να τα ξέχασε στο πρώτο λεωφορειο;

Λύση

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με:

5/9 ≈ 55.5555556%