ΠΑΣΧΑ 2023!!

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48a" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Οι Δύο Έμποροι

Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.

Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:

-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ο δεύτερος τότε του λέει:

-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/7 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

x+(y/5)=10,000 (1)

y+(x/7)=10.000 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)

Από την (2) συνάγουμε ότι:

y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)

Από τη (4) συνάγουμε ότι:

7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)

Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:

5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ----> 34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)

Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:

x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)

Επαλήθευση:

x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000

y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Πρόβλημα του Λόγιου μαθηματικού Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο του «Δεύτερη των Επιστολών», που γράφτηκε το 1341. Ο Ευάγγελος Σταμάτης τον χαρακτήρζε ως τον «Πρίγκιπα της Βυζαντινής Αριθμητικής».

Η Πιθανότητα

Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια;

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:

P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5

Η πιθανότητα να πιαστεί είναι:

0.5*0.5=0.25

Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι:

1−0.25=0.75

Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!

Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα να έχουν πιαστεί είναι:

5*0.5=2.5 μύγες

Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι:

(3−2.5)* 0.5=0.25

Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:

1−0.25=0.75

Η Τιμή

Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:

(α)Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.

(β)Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.

(γ)Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.

Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».

Λύση

Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:

C(n,2)≤3n ⇔ [n*(n-1)]/2≤3n ⇔ (n-1)/2≤3 ⇔ n≤7

Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:

C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7

Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:

(Α, Β, Γ), (Α, Δ, Ε), (Α, Ζ, Η), (Β, Δ, Η), (Β, Ε, Ζ), (Γ, Δ, Ζ), και (Γ, Ε, Η) ο. ε. δ.

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view, Θέμα Νο.4

34η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017

Σημείωση:

[⇔=Ισοδυναμεί με...]

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»;

Λύση

Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ, έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις: (Ο αριθμός «Δ» λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός «δ» λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός «π» λέγεται πηλίκο και ο αριθμός «υ» λέγεται υπόλοιπο της διαίρεσης.)

x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)

x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)

Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε

Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37

Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74 Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη (υ17)

Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.

Πηγή:

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-A200/293/2066,7182/

Οι Ηλικίες

Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:

-«Κύριε καθηγητά, πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»

Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:

-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.»

Λύση

Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

α)Για την ηλικία του καθηγητή:

(α-5)*(α+5)=1.200 (1)

α^2+5α -5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:

α^2=1.225 ---> sqrt[α^2]=sqrt[1.225] ---> α=35 (2)

Επαλήθευση:

(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 ο.ε.δ.

β)Για την ηλικία των παιδιών του:

Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:

ω=β*β (1)

ω=β+β (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

ω=β*β ---> ω=β^2 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)

Επαλήθευση:

ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4

ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Οι Τρόποι

(α)Υπάρχουν 12 μαθητές σε μια τάξη. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους οι μαθητές μπορούν να χωριστούν σε 3 ομάδες που περιέχουν 4 μαθητές η καθεμία;>

* * *

(β) Με πόσους τρόπους μπορούν 9 μαθητές να ομαδοποιηθούν εξίσου σε τρεις ομάδες;

Λύση

(α)C(12, 4)*C(8, 4)*C(4,4)= 495*70*1/6 = 34.650/6= 5.775 τρόποι

Πηγή:

https://www.quora.com/There-are-12-students-in-a-class-What-is-the-number-of-ways-the-students-can-be-partitioned-into-3-teams-containing-4-students-each

(β)C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/3! = 84×20×1/6 = 280

Πηγή:

https://www.quora.com/In-how-many-ways-can-9-students-be-grouped-equally-in-three-groups

Οι Αριθμοί των Σελίδων

Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.

Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:

-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»

Ο καθηγητής τους απάντησε:

-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»

Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;

Λύση

Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

α*(α+1)=506 (1)

α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (2)

x=(-1±sqrt[(1^2)-4*1*(-506)])/2*1 === x=(-1±sqrt[1+2.024])/2 === x=(-1±sqrt[2.025])/2 === x=(-1±45)/2

x1=(-1+45)/2 === x1=44/2 === x1=22 Ρίζα αποδεκτή

x2=(-1-45)/2 === x2= -46/2 === x2= -23 Ρίζα μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:

α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Τα Βιβλία

Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.

Ζητούμενα:

(α) Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.

(β) Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι;

Λύση

(α) Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.

χ=5ω+3=6φ-2 => 5(ω+1)=6φ => 5(ω+1-φ)=φ

Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:

90>χ=6*5κ-2>50 => 92>30κ>52 => 92/30>κ>52/30 => 3,06>κ>1,73

Συνεπώς:

κΕ{2,3}

Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία

Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία

(β)Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:

(α)88-3=85=17*5

(β)58-3=55=11*5

οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία,

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Παράρτημα Ροδόπης - 7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016

Οι Πόντοι

Στους τελευταίους τρεις αγώνες μπάσκετ ο Αλέξης σημείωσε κατά μέσο όρο 21 πόντους. Εάν στον πρώτο αγώνα, από τους τρεις, σημείωσε 22 πόντους και στον τρίτο αγώνα, από τους τρεις σημείωσε 25 πόντους, πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις;

Λύση

Ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους. Έστω «α» οι πόντοι που σημείωσε στο πρώτο αγώνα, «β» οι πόντοι που σημείωσε στο δεύτερο αγώνα, και «γ» οι πόντοι που σημείωσε στο τρίτο αγώνα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος συνάγουμε το εξής συμπέρασμα: Οι 21 πόντοι αποτελούν τον μέσο όρο των συνολικών πόντων που σημείωσε ο Αλέξης στους τρεις τελευταίους γύρους, οπότε έχουμε την εξίσωση:

(α+β+γ)/3=21 (1)

Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» με τους δεδομένους πόντους, από την εκφώνξση του προβλήματος, που σημείωσε στον πρώτο και τρίτο αγώνα και βρίσκουμε πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις.

(α+β+γ)/3=21 ---> (22+β+25)/3=21 ---> (47+β)/3=21 47+β=21*3 ---> 47+β=63 ---> β=63-47 ----> β=16 (2)

Επαλήθευση:

(α+β+γ)/3=21 ----> (22+16+25)/3=21 ----> 63/3=21 ο.ε.δ.

Πηγή:

11ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός "ΠΑΙΧΝΙΔΙ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" Ε΄ και ΣΤ΄ Δημοτικού του περιοδικού "Ο ΜΙΚΡΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" (ΣΤ΄ Δημοτικού)