Οι Τρεις Παλινδρομικοί Αριθμοί

Υπάρχουν τρεις παλινδρομικοί* αριθμοί. Ο πρώτος αριθμός αποτελείται από δύο ψηφία. Ο δεύτερος αποτελείται από τρία ψηφία. Εάν προσθέσουμε τους δύο αριθμούς μαζί, τότε προκύπτει ένας τετραψήφιος παλινδρομικός αριθμός. Ποιοι είναι οι τρεις αυτοί παλινδρομικοί αριθμοί;

Επεξήγηση:

*Παλινδρομικός ή καρκινικός αριθμός καλείται ο αριθμός που δηλώνει την παλινδρομική ή καρκινική όμοια εκφορά του αριθμού, από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή π.χ. ο αριθμός 838 είναι παλινδρομικός ή καρκινικός.

Λύση

Ο τριψήφιος αριθμός οφείλει να είναι μεγαλύτερος από 900, διαφορετικά δε γίνεται να υπερβεί το 1.000 εάν προστεθεί με ένα διψήφιο. Αφού είναι παλινδρομικός, δε μπορεί παρά να είναι της μορφής 9x9 (9 εκατοντάδες, χ δεκάδες και 9 μονάδες). Ο διψήφιος παλινδρομικός αριθμός προφανώς είναι της μορφής ψψ (ψ δεκάδες και ψ μονάδες). Ο τετραψήφιος αριθμός είναι το άθροισμα τριψήφιου και διψήφιου, επομένως δε μπορεί παρά το πρώτο του ψηφίο (χιλιάδες) να είναι 1 και το δεύτερο ψηφίο (εκατοντάδες) να είναι 0. Δεδομένου, λοιπόν, ότι είναι παλινδρομικός, δε μπορεί παρά να είναι ο 1001. Προσθέτοντας τον τριψήφιο και το διψήφιο αριθμό, κατ' αρχήν προσθέτονται οι μονάδες, δηλαδή 9+ψ. Παρατηρώντας το άθροισμα 1001, γίνεται φανερό 9+ψ=11, ώστε να προκύψει το 1 ως τελευταίο ψηφίο (ή ψηφίο μονάδων) του αθροίσματος, καθώς και το 1 ως κρατούμενο για να προστεθεί στις δεκάδες.

Αφού 9+ψ=11, τότε ψ=2, επομένως ο διψήφιος αριθμός είναι το 22.

Ο τριψήφιος αριθμός της μορφής 9χ9 ισούται με 900+χ*10+9, ενώ το άθροισμα των δυο είναι:

(900+χ*10+9)+22=1001.

Η λύση είναι χ=7, επομένως ο τριψήφιος αριθμός είναι το 979.

(A.)22

(B.)979

22+979=1001

Ο Χρόνος

Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή. Μια βάνα για να την αδειάσει χρειάζεται μια ώρα περισσότερο. Εάν ανοίξουμε τη βρύση και τη βάνα μαζί η δεξαμενή γεμίζει σε 2 ώρες. Πόσες ώρες απαιτούνται για να γεμίσει τη δεξαμενή η βρύση;

Διευκρίνιση:

Αναλυτική λύση.

Λύση

Για να γεμίσει τη δεξαμενή η βρύση χρειάζεται μια ώρα. Έστω [α] η ποσότητα νερού της δεξαμενής. Εάν η βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε «x» ώρες, η βάνα την αδειάζει σε (x+1) ώρες. Οπότε, σε 1 ώρα η βρύση γεμίζει το (α/x) της δεξαμενής, ενώ η βάνα αδειάζει το [α/(x+1)]. Σε 2 ώρες η βρύση έχει γεμίσει τα (2α/x) της δεξαμενής και η βάνα έχει αδειάσει τα [2α/(χ+1)] της δεξαμενής. Επειδή μετά από 2 ώρες η δεξαμενή γεμίζει, η ποσότητα του νερού που περιέχει είναι «α». Άρα έχουμε την εξίσωση:

2α/x-2α/(x+1)=α

Απλοποιούμε τα «α» κι’ έχουμε:

(2/x)-(2/(x+1))=1

2*(x+1)-2*x =1*x*(x+1)

2x+2-2x=x^2+x

2=x^2+x

x^2+x-2=0

Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:

x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2*α]

x=[-1±sqrt[(1^2)-4*1*(-2)]/2*1]

x=[-1±sqrt[1+8]/2 ---> x=(-1±3)/2

x1=(-1+3)/2 ---> x=2/2 ---> x1=1 αποδεκτή

x2=(-1-3)/2 ---> x=-4/2 ---> x2=-2 απορρίπτεται

Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες x1=1 και x2=-2.

Οπότε η βρύση θα γεμίσει τη δεξαμενή σε 1 ώρα.

Οι Τιμές

Να βρεθούν οι δύο τιμές του «x» στην ανωτέρω εξίσωση.

Διευκρίνιση:

Αναλυτική Λύση.

Λύση

Η εξίσωση γράφεται:

x^x^2 = √2^√2^2

Άρα x=√2 (με πρόσημο + ή -) (papadim)

Οι Αριθμοί

Έχουμε δυο φυσικούς αριθμούς «α» και «β» και κάνουμε με αυτούς τις κατωτέρω πράξεις:

(α+β), (α–β), (α*β), (α:β)

Το άθροισμα των αποτελεσμάτων των τεσσάρων αυτών πράξεων είναι 100:

[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100]

Ποιοι είναι οι αριθμοί «α», και «β»;

Λύση

Το πρόβλημα έχει τρεις λύσεις:

(α,β)=(9,9), (α,β)=(16,4), και (α,β)=(25,1)

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:

[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)]=100 (1)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

α+β+α-β+α*β+α:β=100 ---> 2α+α*β+α:β=100 (2)

Επειδή στο δεύτερο μέλος έχουμε πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών (πλην της διαίρεσης) το αποτέλεσμα είναι ένας φυσικός αριθμός. Άρα και στο πρώτο μέλος το κλάσμα (α/β) είναι επίσης φυσικός αριθμός. Άρα το «α» είναι πολλαπλάσιο του «β». Δηλαδή (α/β)=κ, όπου «κ» φυσικός αριθμός, και α=κβ.

Αντικαθιστούμε στη (2) το (α/β) με «κ» και το «α» με «κβ» κι’ έχουμε:

2α+α*β+α:β=100

2κβ+κβ*β+κ=100

κβ^2+2κβ+κ=100

κ(β^2+2β+1)=100

(β^2+2β+1)=100/κ

Στο πρώτο μέλος η παράσταση (β^2+2β+1) είναι το ανάπτυγμα του (β+1)^2, οπότε έχουμε:

(β^2+2β+1^2)=100/κ ---> (β+1)^2=100/κ (3)

Δηλαδή το (100/κ) είναι τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού. Δηλαδή το 100 πρέπει να διαιρείται ακριβώς δια του «κ» και το αποτέλεσμα της διαίρεσης να είναι τέλειο τετράγωνο. Από τους διαιρέτες του 100, που είναι οι 1,2,4,10,25,50, τέτοιο αποτέλεσμα έχουμε όταν:

(α)Το κ=1, τότε 100/κ=100/1=100=10^2 (4)

(β)Το κ=4, τότε 100/κ=100/4=25=5^2 (5)

(γ)Το κ=25, τότε 100/κ=4=2^2 (6)

Αντικαθιστούμε στη (3) το (100/κ) με τις τιμές των (4), (5) και (6) κι’ έχουμε:

(α)(β+1)^2=100/κ ---> (β+1)^2=10^2

Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα για την απαλοιφή των τετραγώνων κι’ έχουμε:

sqrt[(β+1)^2]=sqrt[10^2] ---> (β+1)=10 ---> β=10-1 ---> β=9 (7)

(β)(β+1)^2=100/κ ---> (β+1)^2=5^2

Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα για την απαλοιφή των τετραγώνων κι’ έχουμε:

sqrt[(β+1)^2]=sqrt[5^2] ---> (β+1)=5 ---> β=5-1 ---> β=4 (8)

(γ)(β+1)^2=100/κ ---> (β+1)^2=2^2

Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα για την απαλοιφή των τετραγώνων κι’ έχουμε:

sqrt[(β+1)^2]=sqrt[2^2] ---> (β+1)=2 ---> β=2-1 ---> β=1 (9)

Αντικαθιστώντας τις τιμές των (7), (8), και (9) στη (2) έχουμε:

(α)2α+α*β+α:β=100 ===> 2α+9α+α:9=100 ====> 2*9α+9*9α+α=100*9 ====> 18α+81α+α=900 ====> 100α=900 ---> α=900/100 ===> α=9 (10)

(β)2α+α*β+α:β=100 ====> 2α+4α+α:4=100 ===> 2*4α+4*4α+α=100*4 ====> 8α+16α+α=400 ===> 25α=400 ===> α=400/25 ===> α=16 (11)

(γ)2α+α*β+α:β=100 ===> 2α+1α+α:1=100 ===> 2*1α+1*1α+α=100*1 ===> 2α+1α+α=100 ===> 4α=100 ===> α=100/4 ===> α=25 (12)

Επαλήθευση:

(α)[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 ===> 9+9+9-9+9*9+9:9=100 ===> 18++0+81+1=100

(β)[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 ===> 16+4+16-4+16*4+16:4=100 ===> 16+4+12+64+4=100

(γ)[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 ===> 25+1+25-1+25*1+25:1=100 ===> 25+1+24+25+25=100

Πηγή: http://49gym-athin.att.sch.gr/math/grifos.htm

Οι Δρομείς

Συνέχεια από τον γρίφο «Οι Δρομείς».Το συμβολικό δώρο για τον καθένα από τους μετέχοντες στον αγώνα ήταν ένα μπρελόκ για κλειδιά .Το καθένα από αυτά τα μπρελόκ τοποθετήθηκε σε ένα χάρτινο κυβικό κουτί με ακμή ένα εκατοστό. Το περίεργο ήταν ότι κάθε κουτί δημιουργήθηκε από μια λωρίδα χαρτιού σαν την λωρίδα του σχήματος μόνο με δίπλωμα χωρίς κόψιμο ή σκίσιμο του χαρτιού. Πως είναι δυνατόν να διπλωθεί το παρακάτω χαρτί ώστε να σχηματιστεί κύβος ακμής ενός εκατοστού;

Λύση

Λύση:

Το Εμβαδόν

Η φάρμα εκτροφής αγελάδων «Μπάρμπα Μήτσος» αποτελείται από 15 χωράφια σχήματος ορθογωνίου και ένα επίσης ορθογώνιο οικόπεδο στο οποίο έχει χτιστεί το υποστατικό της φάρμας.Είναι γνωστό το εμβαδό των επτά χωραφιών από τα δεκαπέντε.Στο σχήμα βλέπετε την διάταξη των δεκαπέντε χωραφιών καθώς και το εμβαδό επτά χωραφιών.Είναι δυνατό να υπολογίσουμε το εμβαδό του οικόπεδου που βρίσκεται το υποστατικό;

Λύση

Συμβολίζουμε τις διαστάσεις των χωραφιών με τα γράμματα α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ και Y το εμβαδό του χωραφιού με το υποστατικό.

Με τον παραπάνω συμβολισμό έχουμε:

(αζ)x(βε)x(γη)x(δθ)=12x20x15x21 (1)

(αη)x(βθ)x(γε)x(δζ)=8x25x14xΥ (2)

Από την (1) και (2),τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα, έχουμε:

8x25x14xΥ =12x20x15x21 === 2.800Υ=75.600 === Υ=75.600/2.800 == Υ=27

Πηγή:

http://mathhmagic.blogspot.com/2014/12/n-gauss-large.html#more

Εν Κινήσει

Ένα αγόρι στέκεται στο διάδρομο ενός τρένου, το οποίο κινείται με 60 km/h. Σε μια στιγμή πηδάει κατ' ευθείαν προς τα πάνω σε ύψος 1 m. Σε ποιο σημείο θα προσγειωθεί;

Λύση

Θα προσγειωθεί στο ίδιο σημείο από όπου πήδησε, διότι η οριζόντια συνιστώσα της θέσης του παιδιού ως προς το τρένο δεν μεταβάλλεται από το άλμα του.(papadim)

Πηγη:

http://eisatopon.blogspot.com/2012/06/blog-post_3922.html#comment-form

Κυλιόμενη Σκάλα

Όταν ο καθηγητής Stanislaw Slapenarski, Πολωνός μαθηματικός, κατεβαίνει μία κυλιόμενη σκάλα φτάνει κάτω, αφού έχει πατήσει 50 σκαλιά. Στη συνέχεια ανεβαίνει ένα ένα τα σκαλιά αλλά πιο γρήγορα και φτάνει πάνω αφού έχει πατήσει 125 σκαλιά. Αν υποθέσουμε ότι ανέβηκε 5 φορές πιο γρήγορα από ότι κατέβηκε (δηλαδή έκανε πέντε βήματα για κάθε ένα βήμα πριν) και ότι η η ταχύτητα του σε κάθε μία από τις διαδρομές του ήταν σταθερή, τότε πόσα σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει?

Λύση

Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα πάνω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα κάτω απλά θα βγει x<0).

Για να ανέβει ο καθηγητής θέλει: 50/1=50 δευτερόλεπτα.

Για να κατέβει ο καθηγητής θέλει:125/5=25 δευτερόλεπτα.

Στο ανέβασμα:

50+50x=μ

(50 σκαλοπάτια ο καθηγητής και 50x σκαλοπάτια λόγω κίνησης της σκάλας ίσον «μ» συνολικός αριθμός σκαλοπατιών της σκάλας)

Στο κατέβασμα:

125-25x=μ

άρα 50+50x=μ ===> 50+50x=125-25x ===> 50x+25x=125–50 ===> 75x=75 ===> x=75/75 ===> x=1

άρα 125-25x=μ ===> 125–25*1=μ ===> 125–25=μ ===> μ=100 σκαλιά

Πρόβλημα του Martin Gardner

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-ost_5858.html#comment-form

Οι Δρομείς

Στην φάρμα «Μπάρμπα-Μήτσος» μια φορά το χρόνο διοργανώνονται αγώνες δρόμου «Τα Kαρδάρεια» με συμβολικό έπαθλο μια καρδάρα γάλα. Στα «Kαρδάρεια» λαμβάνουν μέρος όλοι οι δρομείς των γύρω χωριών. Στο αγώνα που έγινε την προηγούμενη Κυριακή, ο Παπαδόπουλος τερμάτισε στην μεσαία θέση της κατάταξης, ο Γεωργίου κατετάγει στην δέκατη θέση και είναι γνωστό ότι ο Παπαδόπουλος τον ξεπέρασε ενώ ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος. Πόσοι δρομείς έλαβαν μέρος;

Λύση

Έστω ν ο αύξων αριθμός της μεσαίας θέσης της κατάταξης τοτε οι δρομεις που τερματισαν πριν από το Παπαδόπουλο είναι:

(ν-1)

Και οι δρομείς που τερμάτισαν μετά από τον Παπαδόπουλο είναι επίσης:

(ν-1)

Έτσι προκύπτει ότι το σύνολο των δρομέων είναι:

(ν-1)+(ν-1)+1=2ν-1

Και προφανώς είναι περιττός αριθμός.

Απο υπόθεση ισχύει ότι:

ν<10 ή 2ν<20 ή 2ν-1<19.

Εξ ορισμού ο Προκοπίου τερμάτισε δέκατος έκτος.

Άρα:

2ν-1>=16 ===> 2ν>=16+1 ===> 2ν>=17

Ο μοναδικός περιττός ανάμεσα στο 16 και το 19 είναι ο 17.

Άρα έλαβαν μέρος 17 δρομείς.

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2014/12/n-gauss-large.html#more

Ο Διαχωρισμός

 

(α) Ένας γεωργός θέλει να μοιράσει το ανωτέρω οικόπεδο στα τέσσερα παιδιά του.

Μπορείτε να χωρίσετε το οικόπεδο σε 4 ίσα και ίδιου σχήματος μέρη;

(β) Εάν ο ίδιος γεωργός είχε 9 παιδιά, πως θα το μοίραζε σε 9 ίσα και ίδιου σχήματος μέρη;

Λύση

Η λύση για το «Α» του αείμνηστου του Ευθύμιου Αλεξίου:

Το οικόπεδο είναι σχήματος "γάμα" και αποτελείται από τρία τετράγωνα, έτσι θα το χωρίσουμε σε 4 ίσα και ίδιου σχήματος "γάμα", όμοια προς το αρχικό και τα οποία θα αποτελούνται από 3 μικρά τετράγωνα (πλευρών 1/2 των πλευρών των τετραγώνων του όλου οικοπέδου και προφανώς Ε=1/4). Το 1ο "γάμα" μικρό οικόπεδο το σχηματίζουμε πέριξ της εσωτερικής κορυφής του όλου οικοπέδου και τα άλλα τρία πέριξ αυτού και ανά ένα με κορυφές την κάτω και αριστερά κορυφή, την πάνω και αριστερά κορυφή και την πάνω και δεξιά κορυφή του όλου οικοπέδου.

Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2013/04/blog-post_9764.html