Δενδροφυτεία

Ένας αγρότης επιθυμεί να αναπτύξει μια δενδροφυτεία. Ξεκινά φτιάχνοντας ένα μύλο και φυτεύοντας δέντρα με ορθογώνιο τρόπο γύρω του, έτσι ώστε ο μύλος να είναι το κέντρο της φυτείας.

Ο μύλος καταλαμβάνει χώρο δύο δέντρων. Κάθε μήνα προσθέτει άλλη μία εξωτερική σειρά δέντρων όπως φαίνεται στις εικόνες.

Να βρεθεί:

i)Πόσα δέντρα θα υπάρχουν μετά από 4 μήνες.

ii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από 5 μήνες.

iii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από n μήνες.

iv)Πόσο καιρό θα του πάρει για να έχει ένα δάσος με 550 δέντρα.

Λύση

Μετά από 4 μήνες θα έχει 10 δένδρα. Μετά από 2 μήνες θα έχει 28 δένδρα. Μετά από τρεις μήνες θα έχει 54 δένδρα. Μετά από 4 μήνες θα έχει 88 δένδρα. Μετά από 5 μήνες θα έχει 130 δένδρά. Μετά από ν μήνες θα έχει 4ν^2+6ν δένδρα. Για να έχει 550 δένδρα χρειάζονται 11 μήνες.

Πρώτος Μήνας: 3*4-2=12-2=10 δένδρα.

Δεύτερος Μήνας: 5*6-2=30-2=28 δένδρα.

Τρίτος Μήνας: 7*8-2=56-2=54 δένδρα.

Τέταρτος Μήνας: 9*10-2=90-2=88 δένδρα.

Πέμπτος Μήνας: 11*12-2=132-2=130 δένδρα.

Μετά από ν μήνες: H κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2ν δέντρα, οπότε έχουμε:

(2ν+1)*(2ν+2)--2= 4ν^2+4ν+2ν+2-2=4ν^2+6ν δένδρα (1)

Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:

4ν^2+6ν=550 ===> 4ν^2+6ν-550=0

Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:

4ν^2+6ν-550=0 ===> 2ν^2+3ν-275=0 (2)

ν=(-3±sqrt[(3^2-4*2*(-275)])/2*2

ν=(-3±sqrt[(9+2.200])/4

ν=(-3±sqrt[(2.209])/4

ν=(-3±47)/4

ν=(-3+47)/4 ===> ν=44/4 ===> ν=11 Ρίζα Αποδεκτή (3)

Άρα, σε 11 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.

Επαλήθευση:

4ν^2+6ν=550 ===> 4*11^2+6*11+10=550 ===> 4*121+6*11+10=550 ===> 484+66=550 ο.ε.δ.

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2023/03/blog-post_67.html#comment-form

Τα Μυρμήγκια

Σε μια κοινότητα μυρμηγκιών, εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 8 μυρμηγκιών δεν περισσεύει κανένα μυρμήγκι, ενώ εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 6 ή 7 μυρμηγκιών περισσεύουν 4.μυρμήγκια. Από πόσα μυρμήγκια αποτελείται αυτή η κοινότητα, εάν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότερα από 60 και λιγότερα από 100;

Λύση

Τα μυρμήγκια είναι 88. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο «Ν». Από τη σειρά των αριθμών 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:

Ε.Κ.Π.(6,7) =6*7=42

Συνεπώς ο (Ν-4) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 42:

(Ν-4)=42, (Ν-4)=84, (Ν-4)=126, …, (Ν-4)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο+4), δηλαδή Ν=42+4=46, Ν=84+4=88, Ν=126+4=130, …, Ν= ∞+4= ∞. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος, διαλέγουμε το πολλα-πλάσιο που βρίσκεται μεταξύ του 60 και του 100, που είναι το 84. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι:

Ν=(Πολλαπλάσιο+4) ----> Ν=84+4 ---> Ν=88

Επαλήθευση:

88mod6=4 ---> 88:6=6*14+υπ.4=84+4=88

88mod7=4 ---> 88:7=7*12+υπ.4=84+4=88

88mod8=0 ---> 88:8=8*11+υπ.0=88+0=88

Πηγή:

http://pieriakaterini.blogspot.gr/2017/04/o-grifos-tis-imeras-22-4-2017.html

Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.

Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».

Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 6 και 2/3 σακιά πίτουρα».

Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς;

Λύση

Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α+β=100 (1)

Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:

α*x ευρώ

Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:

(100-α)*ψ ευρώ

Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:

α*x=(100-α)*ψ (2)

Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:

(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)

Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:

α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)

Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:

α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α ---> 3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ

Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:

3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ ---> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 ---> 45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 ---> 25α^2+4.000α-200.000=0

Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:

25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)

Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:

α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —> α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —>

α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2

α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)

α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)

Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:

α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)

Επαλήθευση:

α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=7177

Πρωτάθλημα Σκακιού

Δύο μαθητές δημοτικού, ταλαντούχοι στο σκάκι, έλαβαν μέρος σ’ ένα πρωτάθλημα που διοργανώθηκε στο Πανεπιστήμιο της πόλης τουςκαι ανταγωνίστηκαν με τους φοιτητές. Κάθε παίκτης που συμμετείχε στο πρωτάθλημαέπειξε με όλους τους άλλους μια μόνο παρτίδα. Με κάθε νίκη έπαιρνε ένα βαθμό, με κάθε ισοπαλία έπαιρνε μισό βαθμό, ενώ στην περίπτωση της ήττας ο παίκτης δεν έπαιρνε βαθμό. Όλοι οι φοιτητές είχαν στο τέλος την ίδια βαθμολογία, ενώ οι δύο μαθητές μαζί συγκέντρωσαν συνολικά 6,50 βαθμούς. Πόσοι φοιτητές συμμετείχαν στο πρωτάθλημα σκακιού;

Λύση

Αν ήταν ν φοιτητές και πήραν α βαθμούς ο καθένας (α πολλαπλάσιο του 0,5), τότε:

α=[(ν+1)(ν+2)/2-6,5]/ν => ν+3-11/ν=2α => ν=11, α=6,5

Συμμετείχαν 11 φοιτητές.

Πηγή:

https://eistoapeiron.blogspot.com/2023/03/grifos-protathlima-skakiou.html

Οι Κάρτες

Ο Παναγιώτης έπαιξε από δύο παρτίδες ενός παιχνιδιού µε κάρτες, µε καθέναν από τους φίλους του Αντώνη, Δημήτρη, και Γιώργο. Πρώτα έπαιξε µε τον Αντώνη διπλασιάζοντας τις κάρτες του στην πρώτη παρτίδα, ενώ στη δεύτερη έχασε 25 κάρτες. Στη συνέχεια, παίζοντας µε το Δημήτρη, αρχικά τριπλασίασε τις κάρτες που είχε και μετά έχασε 15 κάρτες. Τέλος, στην πρώτη παρτίδα µε το Γιώργο, κέρδισε 50 κάρτες, αλλά στη δεύτερη έχασε 33. Μετά το τέλος των παρτίδων ο Παναγιώτης είχε 197 κάρτες. Με πόσες κάρτες ξεκίνησε να παίζει;

Λύση

Ο Παναγιώτης ξεκίνησε να παίζει με 45 κάρτες. Έστω «x» οι κάρτες που είχε στην αρχή ο Παναγιώτης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:

Διπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη:2χ.

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:

Ο Παναγιώτης χάνει 25 κάρτες:(2χ-25).

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρης:

Τριπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη που είχε μετά τη δεύτερη παρτίδα με τον Αντώνη:3*(2χ-25).

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρη:

Ο Παναγιώτης χάνει 15 κάρτες: [3*(2χ-25)-15]

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:

Ο Παναγιώτης κερδίζει 50 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50]

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:

Ο Παναγιώτης χάνει 33 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50-33].

Μετά τ’ ανωτέρω αποτελέσματα είχε 197 κάρτες, οπότε έχουμε την εξίσωση:

[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> 6x-75 -15+50-33=197 --> 6x=197+75+15-50+33 --> 6x=320-50 --> 6x=270 --> x=270/6 --> x=45

Επαλήθευση:

[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> [[3*(2*45)-25]-15+50-33]=197 -->[[(3*(90-25]-15+50-33]=197 --> [(3*65)-15+50-33]=197 --> 195-15+50-33=197

Ο Βαθμός

Ο Κώστας στο μάθημα των μαθηματικών θα διαγωνιστεί σε τέσσερα διαγωνίσματα των 100 βαθμών το καθένα. Έθεσε ως στόχο να συγκεντρώσει μέσο όρο τουλάχιστον 95 βαθμούς. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα συγκέντρωσε 97 μονάδες στο πρώτο και 91 μονάδες στο δεύτερο. Όταν είδε το βαθμό του τρίτου διαγωνίσματος επιβεβαιώθηκε ότι υπήρχαν ακόμα περιθώρια για να φτάσει στο στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3ου διαγωνίσματος;

Λύση

Ο πιο χαμηλός βαθμός του τρίτου διαγωνίσματος πρέπει να είναι 92 μονάδες.

Το άθροισμα όλων των γραπτών πρέπει να είναι:

95*4=380 μονάδες.

Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει: 380−97−91=192 μονάδες.

Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι:

192−100=92 μονάδες.

Πηγή:

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία για Α΄ Γυμνασίου 2013-2014

Οι Ηλικίες

Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041.

Να βρεθούν:

(α) Οι ηλικίες των παιδιών.

(β) Η ηλικία της μητέρας.

(γ) Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;

Λύση

Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:

41.041=7*11*13*41

Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:

(α) 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.

(β)Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.

(γ) Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.

Πριν «y» χρόνια ήταν:

Ηλικία μητέρας: (41–y)

Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.

Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)

(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001

y^3–31*y^2+310*y–960=0

(y–6)*(y^2–25*y+160)=0

(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)

Άρα: y=6

Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.

Επαλήθευση:

Πριν 6 χρόνια ήταν:

Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών

Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα, και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35

Επαλήθευση:

(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

Πηγή:

5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Οι Ομάδες

Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα;

Λύση

Οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα ήταν 16. Έστω «ν» οι ομάδες και «κ» οι αγώνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

Έστω ν=2κ (1) άρτιος ο αριθμός των ομάδων.

Κάθε ομάδα παίζει:

2(ν-1)=2(2κ-1) (2) αγώνες, που είναι και ο αριθμός των αγωνιστικών ημερών.

Κάθε αγωνιστική ημέρα διεξάγονται:

κ = ν/2 (3) αγώνες.

Άρα ο αριθμός των αγώνων όλου του πρωταθλήματος είναι:

κ[2(2κ-1)] =240 (4)

Συνεπώς:

κ[2(2κ-1)]=240 ---> κ(2κ-1)=240/2 ---> κ(2κ-1)=120 ----> 2κ^2-κ=120 ----> 2κ^2-κ-120=0 (5)

κ=(1±sqrt[(-1)^2-4*2*(-120)])/2*2 === κ=1±sqrt[1+960])/4 === κ=(1±sqrt[961])/4 === κ=(1±31)/4

κ1=(1+31)/4 === κ1=32/4 === κ1=8 (6) αποδεκτή

κ2=(1-31)/4 === κ2= 30/4 === κ2= -7,50 (7) μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε:

ν=2κ ----> ν=2*8 ----> ν=16 (8)

Άρα ο αριθμός των ομάδων είναι 16.

Επαλήθευση:

ν=2κ ----> ν=2*8 ---> ν=16 ομάδες

2(ν-1)=2(2κ-1) ----> 2*(16-1)=2*(2*8-1) ----> 2*15=2*(16-1) ---> 2*15=2*15=30 αγώνες

κ = ν/2 ---> κ=16/2 ----> κ=8 αγώνες

κ[2(2κ-1)] =240 ----> 8*[2*(2*8-1)]=240 ----> 8*[2*(16-1)]=240 ----> 8*(2*15)=240 ---> 8*30=240 συνολικοί αγώνες ο.ε.δ.

Πήγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.

Η Τιμή

Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτό-πουλα. Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων. Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα;

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.

Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.

Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.

(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.

Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.

Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.

Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.

Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.

Εστω χ<10,ψ<16,ω<26 τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφες αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β η απογευματινη, οπου α,β ρητοι θετικοι με α>β, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:

χα+(10-χ)β=35 (1)

ψα+(16-ψ)β=35 (2)

ωα+(26-ω)β=35 (3)

Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:

(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 <=> (χ-ψ)(α-β)=6β>0 αρα: χ>ψ (Α)

(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (ψ-ω)(α-β)=10β>0 αρα: ψ>ω (Β)

(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)

Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)

Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:

(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5

(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8

(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8

Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:

χ-ψ=3

ψ-ω=5

χ-ω=8 <=> χ=8+ω<10 <=> ω<10-8=2 αρα: ω=1

Οποτε:

χ=8+ω=8+1=9

ψ-ω=5 <=> ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]

Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:

9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β <=> 9α+β=6α+10β <=> 3α=9β <=> α=3β

Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:

α+(26-1)β=35 <=> 3β+25β=35 <=> 28β=35 <=> β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια

αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=1567

Η Τιμή

Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ. Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο. Να βρεθεί η τιμή του «x».

Λύση

Η τιμή του «x» είναι 2. Επειδή η εκφώνηση αναφέρει ότι οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξάνονται κατά «x» εκ., οι διαστάσεις των πλευρών γίνονται:

(ΑΒ)=4+x εκ., (ΑΓ)=6+x εκ., και (ΒΓ)=8+x εκ. αντίστοιχα.

Μετά την αύξηση των πλευρών του σκαληνού τριγώνου το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο, οπότε βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος (ΒΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 έχουμε:

(ΒΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 ---> (8+x)2=(4+x)2+(6+x)2 ---> 82+2*8x+x2=42+2*4x+x2+62+2*6x+x2 ----> 64+16x+x2=16+8x+x2+36+12x+x2 ----> 64-16-36=8x+12x-16x-x2+x2+x2 ----> 64-52=20x-16x+x2 ----> 12=4x+x2 ----> x2+4x-12=0 (1)

x=(-4±sqrt[(4)^2-4*1*(-12)])/2*1 === x=(-4±sqrt[16+48])/2 === x=(-4±sqrt[64])/2 === x=(-4±8)/2 (2)

x1=(-4+8)/2 === x1=4/2 === x1=2 (3)

x2=(-4-8)/2 === x2=(-12)/2 === x2= -6 (4)

Ως αποτέλεσμα δεχόμαστε την θετική ρίζα x1=2. Άρα οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξήθηκαν κατά 2εκ., οπότε το τρίγωνο μετασχηματίστηκε σε ορθογώνιο με πλευρές.

(ΑΒ)=4+2=6εκ, (ΑΓ)=6+2=8εκ., και (ΒΓ)=8+2=10εκ. αντίστοιχα., των οποίων οι τιμές αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα (6,4,10).

Επαλήθευση:

(ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 ---> (8+x)^2=(4+x)^2+(6+x)^2 ---> (8+2)^2=(4+2)^2+(6+2)^2 ----> 10^2=6^2+8^2 100=36+64 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.