Χριστούγεννα 2023!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri48a εύχεται σε όλους:

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και 

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Το Αγρόκτημα

 

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε ως εξής:

-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά 120 από τις κότες μου.»

Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε από το καθ' ένα;

Λύση

Συνολικά είχε 36 ζώα, 2 άλογα, 11 πρόβατα, και 23 κότες. Ή 63 ζώα, 59 άλογα, 2 πρόβατα, και 2 κότες. Έστω «Α» τα άλογα «Π» τα

πρόβατα και «Κ» οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

Π*(Π+Α)=Κ+120 (1)

Εάν «Α», «Π», και «Κ» πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα:

α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 ---> Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2

και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2

β) Κ+120=περιττός αριθμός --->Π*(Π+Α)=περιττός αριθμός --->Π= περιττός και Α=2και η εξίσωση γίνεται:Π*(Π+2)=Κ+120 --->

Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) ---> (Π-10) = 1 ---> Π =11

και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23

Επαλήθευση:

(α) Π*(Π+Α)=Κ+120 === 2*(2+59)=2+120 === 4+118=2+120 === 4+118=122

(β) Π*(Π+Α)=Κ+120 ---> 11*(11+2)=23+120 ---> 11*13=143

.

Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Πρωτομαγιά 2023!!

 

Αντιγράφω το κείμενο από την ιστοσελίδα του Δ. Σπυρόπουλου «Το ιστολόγιο ενός Μαθηματικού και όχι μόνο...», όπου στις τρεις γραμμές του συμπεριλαμβάνει όλο το νόημα της σημερινής ημέρας που δεν είναι ΑΡΓΙΑ, αλλά ΑΠΕΡΓΙΑ!!

*Καλό μήνα και καλή πρωτομαγιά.* *Να είμαστε καλά και να θυμόμαστε τους κοινωνικούς αγώνες των * *εργατών που ανέδειξαν **αυτονόητα δικαιώματα και αντέταξαν ηρωισμό * *απέναντι στην κάθε είδους αυθαιρεσία.......*

Η ιστοσελίδα του «Papaveri48a» σας εύχεται με τη σειρά του Καλό Μήνα και Καλή Πρωτομαγιά!!

Τεστ Μαθηματικών

(α)Τα Χτυπήματα

Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 24ωρο;

(β)Ο Πολλαπλασιασμός

Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών (αμοιβάδων) διπλασιάζεται κάθε μέρα. Σε 8 μέρες ο πληθυσμός αυξήθηκε σε100 εκατομμύρια. Σε πόσες μέρες θα αυξηθεί σε 400 εκατομμύρια;

(γ)Ο Όρος

(i)Δίνεται η παρακάτω σειρά αριθμών 5, 16, 50,…? Ποιος είναι ο επόμενος όρος;

(ii)Ποιοι είναι οι επόμενοι δύο αριθμοί σε αυτήν την ακολουθία: 5, 9, 17, 33, 65,…?

(δ)Τα Αυγά

Πόσα αυγά υπάρχουν στην αυγοθήκη;

Λύση

(α) Τα Χτυπήματα

156 χτυπήματα.

Αθροίζουμε τις 12 ώρες και το άθοισμα το πολλαπλασιάζπυμε με το 2 κι’ έχουμε:

2x(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12) = 2x78 = 156

(β) Ο Πολλαπλασιασμός

Σε 10 ημέρες.Την 9η ημέρα αυξάνεται σε 2*100.000.000=200.000.000. Τη 10 ημέρα αυξάνεται σε 2*200.000.000=400.000.000.

(γ) Ο Όρος

(i)5*3+1=15+1=16

16*3+2=48+2=50

50*3+3=150+3=153

(ii)n+(n-1)

5+4=9

9+2*4=9+8=17

17+2*8=17+16=33

33+2*16=33+32=65

65+2*32=65+64=129

129+2*64=129+128=257

(δ) Τα Αυγά

Υπάρχουν 30 αυγά. Πώς είμαστε σίγουροι;

Υπάρχουν 4 σειρές με 4 αυγά στο κάτω μέρος, που σημαίνει ότι έχει 4*4 = 16 αυγά.

Υπάρχουν 3 σειρές με 3 αυγά στη δεύτερη στρώση, που σημαίνει ότι έχει 3*3 = 9 αυγά.

Υπάρχουν 2 σειρές με 2 αυγά στο στρώμα πάνω από αυτό, που σημαίνει ότι έχει 2*2 = 4 αυγά.

Υπάρχει μόνο ένα αυγό στο επάνω στρώμα.

Όταν προσθέσετε τα αυγά σε όλες τις στρώσεις, τότε θα διαπιστώσετε ότι ο συνολικός αριθμός των αυγών στη θήκη ανέρχεται σε:

16+9+4+1=30

ΠΑΣΧΑ 2023!!

 Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"

Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"

Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or

Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"

                                             * * * * * * * * *

Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948a” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά!

Είθε ο Ανασστημένος Ιησούς Χριστός να φέρει την Αγάπη και την Ειρήνη σ΄όλο τον Κόσμα.

ΠΑΣΧΑ 2023!!

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48a" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Οι Δύο Έμποροι

Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.

Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:

-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ο δεύτερος τότε του λέει:

-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/7 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

x+(y/5)=10,000 (1)

y+(x/7)=10.000 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)

Από την (2) συνάγουμε ότι:

y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)

Από τη (4) συνάγουμε ότι:

7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)

Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:

5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ----> 34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)

Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:

x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)

Επαλήθευση:

x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000

y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Πρόβλημα του Λόγιου μαθηματικού Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο του «Δεύτερη των Επιστολών», που γράφτηκε το 1341. Ο Ευάγγελος Σταμάτης τον χαρακτήρζε ως τον «Πρίγκιπα της Βυζαντινής Αριθμητικής».

Η Πιθανότητα

Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια;

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:

P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5

Η πιθανότητα να πιαστεί είναι:

0.5*0.5=0.25

Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι:

1−0.25=0.75

Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!

Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα να έχουν πιαστεί είναι:

5*0.5=2.5 μύγες

Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι:

(3−2.5)* 0.5=0.25

Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:

1−0.25=0.75

Η Τιμή

Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:

(α)Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.

(β)Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.

(γ)Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.

Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».

Λύση

Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:

C(n,2)≤3n ⇔ [n*(n-1)]/2≤3n ⇔ (n-1)/2≤3 ⇔ n≤7

Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:

C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7

Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:

(Α, Β, Γ), (Α, Δ, Ε), (Α, Ζ, Η), (Β, Δ, Η), (Β, Ε, Ζ), (Γ, Δ, Ζ), και (Γ, Ε, Η) ο. ε. δ.

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view, Θέμα Νο.4

34η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017

Σημείωση:

[⇔=Ισοδυναμεί με...]

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»;

Λύση

Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ, έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις: (Ο αριθμός «Δ» λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός «δ» λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός «π» λέγεται πηλίκο και ο αριθμός «υ» λέγεται υπόλοιπο της διαίρεσης.)

x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)

x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)

Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε

Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37

Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74 Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη (υ17)

Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.

Πηγή:

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-A200/293/2066,7182/

Οι Ηλικίες

Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:

-«Κύριε καθηγητά, πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»

Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:

-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.»

Λύση

Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

α)Για την ηλικία του καθηγητή:

(α-5)*(α+5)=1.200 (1)

α^2+5α -5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:

α^2=1.225 ---> sqrt[α^2]=sqrt[1.225] ---> α=35 (2)

Επαλήθευση:

(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 ο.ε.δ.

β)Για την ηλικία των παιδιών του:

Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:

ω=β*β (1)

ω=β+β (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

ω=β*β ---> ω=β^2 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)

Επαλήθευση:

ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4

ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Οι Τρόποι

(α)Υπάρχουν 12 μαθητές σε μια τάξη. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους οι μαθητές μπορούν να χωριστούν σε 3 ομάδες που περιέχουν 4 μαθητές η καθεμία;>

* * *

(β) Με πόσους τρόπους μπορούν 9 μαθητές να ομαδοποιηθούν εξίσου σε τρεις ομάδες;

Λύση

(α)C(12, 4)*C(8, 4)*C(4,4)= 495*70*1/6 = 34.650/6= 5.775 τρόποι

Πηγή:

https://www.quora.com/There-are-12-students-in-a-class-What-is-the-number-of-ways-the-students-can-be-partitioned-into-3-teams-containing-4-students-each

(β)C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/3! = 84×20×1/6 = 280

Πηγή:

https://www.quora.com/In-how-many-ways-can-9-students-be-grouped-equally-in-three-groups

Οι Αριθμοί των Σελίδων

Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.

Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:

-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»

Ο καθηγητής τους απάντησε:

-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»

Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;

Λύση

Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

α*(α+1)=506 (1)

α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (2)

x=(-1±sqrt[(1^2)-4*1*(-506)])/2*1 === x=(-1±sqrt[1+2.024])/2 === x=(-1±sqrt[2.025])/2 === x=(-1±45)/2

x1=(-1+45)/2 === x1=44/2 === x1=22 Ρίζα αποδεκτή

x2=(-1-45)/2 === x2= -46/2 === x2= -23 Ρίζα μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:

α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Τα Βιβλία

Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.

Ζητούμενα:

(α) Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.

(β) Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι;

Λύση

(α) Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.

χ=5ω+3=6φ-2 => 5(ω+1)=6φ => 5(ω+1-φ)=φ

Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:

90>χ=6*5κ-2>50 => 92>30κ>52 => 92/30>κ>52/30 => 3,06>κ>1,73

Συνεπώς:

κΕ{2,3}

Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία

Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία

(β)Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:

(α)88-3=85=17*5

(β)58-3=55=11*5

οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία,

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Παράρτημα Ροδόπης - 7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016

Οι Πόντοι

Στους τελευταίους τρεις αγώνες μπάσκετ ο Αλέξης σημείωσε κατά μέσο όρο 21 πόντους. Εάν στον πρώτο αγώνα, από τους τρεις, σημείωσε 22 πόντους και στον τρίτο αγώνα, από τους τρεις σημείωσε 25 πόντους, πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις;

Λύση

Ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους. Έστω «α» οι πόντοι που σημείωσε στο πρώτο αγώνα, «β» οι πόντοι που σημείωσε στο δεύτερο αγώνα, και «γ» οι πόντοι που σημείωσε στο τρίτο αγώνα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος συνάγουμε το εξής συμπέρασμα: Οι 21 πόντοι αποτελούν τον μέσο όρο των συνολικών πόντων που σημείωσε ο Αλέξης στους τρεις τελευταίους γύρους, οπότε έχουμε την εξίσωση:

(α+β+γ)/3=21 (1)

Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» με τους δεδομένους πόντους, από την εκφώνξση του προβλήματος, που σημείωσε στον πρώτο και τρίτο αγώνα και βρίσκουμε πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις.

(α+β+γ)/3=21 ---> (22+β+25)/3=21 ---> (47+β)/3=21 47+β=21*3 ---> 47+β=63 ---> β=63-47 ----> β=16 (2)

Επαλήθευση:

(α+β+γ)/3=21 ----> (22+16+25)/3=21 ----> 63/3=21 ο.ε.δ.

Πηγή:

11ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός "ΠΑΙΧΝΙΔΙ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" Ε΄ και ΣΤ΄ Δημοτικού του περιοδικού "Ο ΜΙΚΡΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" (ΣΤ΄ Δημοτικού)

Οι Αριθμοί

Το γινόμενο δύο αμοιβαίων κατοπτρικών αριθμών, (όπου ο ένας προκύπτει από την αντιστροφή της σειράς των ψηφίων του άλλου), ισούται με 92.565. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Διευκρίνιση:

*Παλινδρομικός ή καρκινικός, ή κατοπτρικός αριθμός καλείται ο αριθμός που δηλώνει την παλινδρομική ή καρκινική, ή κατοπτρική όμοια εκφορά του αριθμού, από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή π.χ. ο αριθμός 838 είναι παλινδρομικός ή καρκινικός ή κατοπτρικός.

Λύση

Μετατρέπουμε τον αριθμό 92.565 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι' έχουμε:

92565=3^2*5*11^2*17=(3*5*11)*(3*11*17)=165*561

Πηγή:

Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 2ος, πρβ.50, Σελ.37)

Σκαμνιά και Πολυθρόνες

Σ’ ένα δωμάτιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με τρία πόδια και μερικές πολυθρόνες. με τέσσερα πόδια. Όταν σε κάθε σκαμνί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωπος, το συνολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι 39. Πόσα σκαμνιά και πόσες πολυθρόνες υπάρχουν στο δωμάτιο;

Λύση

Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Έστω «Σ» τα σκαμνιά και «Π» οι πολυθρόνες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

5Σ+6Π=39 (1)

(α)Σ = Σκαμνί και Άνθρωπος= 3+2=5 πόδια.

(β)Π = Πολυθρόνα και Άνθρωπος=4+2=6 πόδια.

5Σ+6Π=39 ---> 5Σ=39-6Π ---> Σ=(39-6Π)/5 (2)

Διερεύνηση:

Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "Π" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "Σ" είναι ο αριθμός Π=4

ντικαθιστούμε τη τιμή του «Π» στη (2) κι’ έχουμε:

Σ=(39-6Π)/5 ---> Σ=(39-6*4)/5 ---> Σ=(39-24)/5 ---> Σ=15/5 ---> Σ=3

Επαλήθευση:

5Σ+6Π=39 ---> [(5*3)+(6*4)]=39 ---> 15+24=39 ο. ε. δ.

Πηγή:

Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1ος, πρβ.57, Σελ.42)

Δενδροφυτεία

Ένας αγρότης επιθυμεί να αναπτύξει μια δενδροφυτεία. Ξεκινά φτιάχνοντας ένα μύλο και φυτεύοντας δέντρα με ορθογώνιο τρόπο γύρω του, έτσι ώστε ο μύλος να είναι το κέντρο της φυτείας.

Ο μύλος καταλαμβάνει χώρο δύο δέντρων. Κάθε μήνα προσθέτει άλλη μία εξωτερική σειρά δέντρων όπως φαίνεται στις εικόνες.

Να βρεθεί:

i)Πόσα δέντρα θα υπάρχουν μετά από 4 μήνες.

ii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από 5 μήνες.

iii)Πόσα δέντρα υπάρχουν μετά από n μήνες.

iv)Πόσο καιρό θα του πάρει για να έχει ένα δάσος με 550 δέντρα.

Λύση

Μετά από 4 μήνες θα έχει 10 δένδρα. Μετά από 2 μήνες θα έχει 28 δένδρα. Μετά από τρεις μήνες θα έχει 54 δένδρα. Μετά από 4 μήνες θα έχει 88 δένδρα. Μετά από 5 μήνες θα έχει 130 δένδρά. Μετά από ν μήνες θα έχει 4ν^2+6ν δένδρα. Για να έχει 550 δένδρα χρειάζονται 11 μήνες.

Πρώτος Μήνας: 3*4-2=12-2=10 δένδρα.

Δεύτερος Μήνας: 5*6-2=30-2=28 δένδρα.

Τρίτος Μήνας: 7*8-2=56-2=54 δένδρα.

Τέταρτος Μήνας: 9*10-2=90-2=88 δένδρα.

Πέμπτος Μήνας: 11*12-2=132-2=130 δένδρα.

Μετά από ν μήνες: H κάθε διάσταση θα έχει αυξηθεί κατά 2ν δέντρα, οπότε έχουμε:

(2ν+1)*(2ν+2)--2= 4ν^2+4ν+2ν+2-2=4ν^2+6ν δένδρα (1)

Από την εξίσωση (1) βρίσκουμε σε πόσους μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα, οπότε έχουμε την εξίσωση:

4ν^2+6ν=550 ===> 4ν^2+6ν-550=0

Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:

4ν^2+6ν-550=0 ===> 2ν^2+3ν-275=0 (2)

ν=(-3±sqrt[(3^2-4*2*(-275)])/2*2

ν=(-3±sqrt[(9+2.200])/4

ν=(-3±sqrt[(2.209])/4

ν=(-3±47)/4

ν=(-3+47)/4 ===> ν=44/4 ===> ν=11 Ρίζα Αποδεκτή (3)

Άρα, σε 11 μήνες ο αγρότης θα έχει 550 δένδρα.

Επαλήθευση:

4ν^2+6ν=550 ===> 4*11^2+6*11+10=550 ===> 4*121+6*11+10=550 ===> 484+66=550 ο.ε.δ.

Πηγή:

http://eisatopon.blogspot.com/2023/03/blog-post_67.html#comment-form

Τα Μυρμήγκια

Σε μια κοινότητα μυρμηγκιών, εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 8 μυρμηγκιών δεν περισσεύει κανένα μυρμήγκι, ενώ εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 6 ή 7 μυρμηγκιών περισσεύουν 4.μυρμήγκια. Από πόσα μυρμήγκια αποτελείται αυτή η κοινότητα, εάν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότερα από 60 και λιγότερα από 100;

Λύση

Τα μυρμήγκια είναι 88. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο «Ν». Από τη σειρά των αριθμών 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:

Ε.Κ.Π.(6,7) =6*7=42

Συνεπώς ο (Ν-4) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 42:

(Ν-4)=42, (Ν-4)=84, (Ν-4)=126, …, (Ν-4)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο+4), δηλαδή Ν=42+4=46, Ν=84+4=88, Ν=126+4=130, …, Ν= ∞+4= ∞. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος, διαλέγουμε το πολλα-πλάσιο που βρίσκεται μεταξύ του 60 και του 100, που είναι το 84. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι:

Ν=(Πολλαπλάσιο+4) ----> Ν=84+4 ---> Ν=88

Επαλήθευση:

88mod6=4 ---> 88:6=6*14+υπ.4=84+4=88

88mod7=4 ---> 88:7=7*12+υπ.4=84+4=88

88mod8=0 ---> 88:8=8*11+υπ.0=88+0=88

Πηγή:

http://pieriakaterini.blogspot.gr/2017/04/o-grifos-tis-imeras-22-4-2017.html

Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.

Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».

Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 6 και 2/3 σακιά πίτουρα».

Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς;

Λύση

Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α+β=100 (1)

Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:

α*x ευρώ

Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:

(100-α)*ψ ευρώ

Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:

α*x=(100-α)*ψ (2)

Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:

(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)

Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:

α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)

Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:

α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α ---> 3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ

Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:

3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ ---> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 ---> 45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 ---> 25α^2+4.000α-200.000=0

Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:

25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)

Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:

α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —> α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —>

α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2

α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)

α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)

Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:

α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)

Επαλήθευση:

α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=7177

Πρωτάθλημα Σκακιού

Δύο μαθητές δημοτικού, ταλαντούχοι στο σκάκι, έλαβαν μέρος σ’ ένα πρωτάθλημα που διοργανώθηκε στο Πανεπιστήμιο της πόλης τουςκαι ανταγωνίστηκαν με τους φοιτητές. Κάθε παίκτης που συμμετείχε στο πρωτάθλημαέπειξε με όλους τους άλλους μια μόνο παρτίδα. Με κάθε νίκη έπαιρνε ένα βαθμό, με κάθε ισοπαλία έπαιρνε μισό βαθμό, ενώ στην περίπτωση της ήττας ο παίκτης δεν έπαιρνε βαθμό. Όλοι οι φοιτητές είχαν στο τέλος την ίδια βαθμολογία, ενώ οι δύο μαθητές μαζί συγκέντρωσαν συνολικά 6,50 βαθμούς. Πόσοι φοιτητές συμμετείχαν στο πρωτάθλημα σκακιού;

Λύση

Αν ήταν ν φοιτητές και πήραν α βαθμούς ο καθένας (α πολλαπλάσιο του 0,5), τότε:

α=[(ν+1)(ν+2)/2-6,5]/ν => ν+3-11/ν=2α => ν=11, α=6,5

Συμμετείχαν 11 φοιτητές.

Πηγή:

https://eistoapeiron.blogspot.com/2023/03/grifos-protathlima-skakiou.html

Οι Κάρτες

Ο Παναγιώτης έπαιξε από δύο παρτίδες ενός παιχνιδιού µε κάρτες, µε καθέναν από τους φίλους του Αντώνη, Δημήτρη, και Γιώργο. Πρώτα έπαιξε µε τον Αντώνη διπλασιάζοντας τις κάρτες του στην πρώτη παρτίδα, ενώ στη δεύτερη έχασε 25 κάρτες. Στη συνέχεια, παίζοντας µε το Δημήτρη, αρχικά τριπλασίασε τις κάρτες που είχε και μετά έχασε 15 κάρτες. Τέλος, στην πρώτη παρτίδα µε το Γιώργο, κέρδισε 50 κάρτες, αλλά στη δεύτερη έχασε 33. Μετά το τέλος των παρτίδων ο Παναγιώτης είχε 197 κάρτες. Με πόσες κάρτες ξεκίνησε να παίζει;

Λύση

Ο Παναγιώτης ξεκίνησε να παίζει με 45 κάρτες. Έστω «x» οι κάρτες που είχε στην αρχή ο Παναγιώτης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:

Διπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη:2χ.

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:

Ο Παναγιώτης χάνει 25 κάρτες:(2χ-25).

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρης:

Τριπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη που είχε μετά τη δεύτερη παρτίδα με τον Αντώνη:3*(2χ-25).

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρη:

Ο Παναγιώτης χάνει 15 κάρτες: [3*(2χ-25)-15]

α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:

Ο Παναγιώτης κερδίζει 50 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50]

β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:

Ο Παναγιώτης χάνει 33 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50-33].

Μετά τ’ ανωτέρω αποτελέσματα είχε 197 κάρτες, οπότε έχουμε την εξίσωση:

[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> 6x-75 -15+50-33=197 --> 6x=197+75+15-50+33 --> 6x=320-50 --> 6x=270 --> x=270/6 --> x=45

Επαλήθευση:

[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> [[3*(2*45)-25]-15+50-33]=197 -->[[(3*(90-25]-15+50-33]=197 --> [(3*65)-15+50-33]=197 --> 195-15+50-33=197

Ο Βαθμός

Ο Κώστας στο μάθημα των μαθηματικών θα διαγωνιστεί σε τέσσερα διαγωνίσματα των 100 βαθμών το καθένα. Έθεσε ως στόχο να συγκεντρώσει μέσο όρο τουλάχιστον 95 βαθμούς. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα συγκέντρωσε 97 μονάδες στο πρώτο και 91 μονάδες στο δεύτερο. Όταν είδε το βαθμό του τρίτου διαγωνίσματος επιβεβαιώθηκε ότι υπήρχαν ακόμα περιθώρια για να φτάσει στο στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3ου διαγωνίσματος;

Λύση

Ο πιο χαμηλός βαθμός του τρίτου διαγωνίσματος πρέπει να είναι 92 μονάδες.

Το άθροισμα όλων των γραπτών πρέπει να είναι:

95*4=380 μονάδες.

Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει: 380−97−91=192 μονάδες.

Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι:

192−100=92 μονάδες.

Πηγή:

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία για Α΄ Γυμνασίου 2013-2014

Οι Ηλικίες

Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041.

Να βρεθούν:

(α) Οι ηλικίες των παιδιών.

(β) Η ηλικία της μητέρας.

(γ) Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;

Λύση

Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:

41.041=7*11*13*41

Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:

(α) 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.

(β)Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.

(γ) Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.

Πριν «y» χρόνια ήταν:

Ηλικία μητέρας: (41–y)

Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.

Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:

(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)

(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001

y^3–31*y^2+310*y–960=0

(y–6)*(y^2–25*y+160)=0

(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)

Άρα: y=6

Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.

Επαλήθευση:

Πριν 6 χρόνια ήταν:

Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών

Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα, και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35

Επαλήθευση:

(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

Πηγή:

5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Οι Ομάδες

Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα;

Λύση

Οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα ήταν 16. Έστω «ν» οι ομάδες και «κ» οι αγώνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

Έστω ν=2κ (1) άρτιος ο αριθμός των ομάδων.

Κάθε ομάδα παίζει:

2(ν-1)=2(2κ-1) (2) αγώνες, που είναι και ο αριθμός των αγωνιστικών ημερών.

Κάθε αγωνιστική ημέρα διεξάγονται:

κ = ν/2 (3) αγώνες.

Άρα ο αριθμός των αγώνων όλου του πρωταθλήματος είναι:

κ[2(2κ-1)] =240 (4)

Συνεπώς:

κ[2(2κ-1)]=240 ---> κ(2κ-1)=240/2 ---> κ(2κ-1)=120 ----> 2κ^2-κ=120 ----> 2κ^2-κ-120=0 (5)

κ=(1±sqrt[(-1)^2-4*2*(-120)])/2*2 === κ=1±sqrt[1+960])/4 === κ=(1±sqrt[961])/4 === κ=(1±31)/4

κ1=(1+31)/4 === κ1=32/4 === κ1=8 (6) αποδεκτή

κ2=(1-31)/4 === κ2= 30/4 === κ2= -7,50 (7) μη αποδεκτή

Αντικαθιστούμε την τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε:

ν=2κ ----> ν=2*8 ----> ν=16 (8)

Άρα ο αριθμός των ομάδων είναι 16.

Επαλήθευση:

ν=2κ ----> ν=2*8 ---> ν=16 ομάδες

2(ν-1)=2(2κ-1) ----> 2*(16-1)=2*(2*8-1) ----> 2*15=2*(16-1) ---> 2*15=2*15=30 αγώνες

κ = ν/2 ---> κ=16/2 ----> κ=8 αγώνες

κ[2(2κ-1)] =240 ----> 8*[2*(2*8-1)]=240 ----> 8*[2*(16-1)]=240 ----> 8*(2*15)=240 ---> 8*30=240 συνολικοί αγώνες ο.ε.δ.

Πήγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.

Η Τιμή

Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτό-πουλα. Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων. Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα;

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.

Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.

Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.

(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.

Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.

Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.

Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.

Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.

Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.

Εστω χ<10,ψ<16,ω<26 τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφες αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β η απογευματινη, οπου α,β ρητοι θετικοι με α>β, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:

χα+(10-χ)β=35 (1)

ψα+(16-ψ)β=35 (2)

ωα+(26-ω)β=35 (3)

Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:

(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 <=> (χ-ψ)(α-β)=6β>0 αρα: χ>ψ (Α)

(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (ψ-ω)(α-β)=10β>0 αρα: ψ>ω (Β)

(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)

Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)

Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:

(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5

(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8

(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8

Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:

χ-ψ=3

ψ-ω=5

χ-ω=8 <=> χ=8+ω<10 <=> ω<10-8=2 αρα: ω=1

Οποτε:

χ=8+ω=8+1=9

ψ-ω=5 <=> ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]

Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:

9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β <=> 9α+β=6α+10β <=> 3α=9β <=> α=3β

Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:

α+(26-1)β=35 <=> 3β+25β=35 <=> 28β=35 <=> β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια

αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

Πηγή:

http://omathimatikos.gr/?p=1567

Η Τιμή

Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ. Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο. Να βρεθεί η τιμή του «x».

Λύση

Η τιμή του «x» είναι 2. Επειδή η εκφώνηση αναφέρει ότι οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξάνονται κατά «x» εκ., οι διαστάσεις των πλευρών γίνονται:

(ΑΒ)=4+x εκ., (ΑΓ)=6+x εκ., και (ΒΓ)=8+x εκ. αντίστοιχα.

Μετά την αύξηση των πλευρών του σκαληνού τριγώνου το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο, οπότε βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος (ΒΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 έχουμε:

(ΒΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 ---> (8+x)2=(4+x)2+(6+x)2 ---> 82+2*8x+x2=42+2*4x+x2+62+2*6x+x2 ----> 64+16x+x2=16+8x+x2+36+12x+x2 ----> 64-16-36=8x+12x-16x-x2+x2+x2 ----> 64-52=20x-16x+x2 ----> 12=4x+x2 ----> x2+4x-12=0 (1)

x=(-4±sqrt[(4)^2-4*1*(-12)])/2*1 === x=(-4±sqrt[16+48])/2 === x=(-4±sqrt[64])/2 === x=(-4±8)/2 (2)

x1=(-4+8)/2 === x1=4/2 === x1=2 (3)

x2=(-4-8)/2 === x2=(-12)/2 === x2= -6 (4)

Ως αποτέλεσμα δεχόμαστε την θετική ρίζα x1=2. Άρα οι πλευρές του σκαληνού τριγώνου αυξήθηκαν κατά 2εκ., οπότε το τρίγωνο μετασχηματίστηκε σε ορθογώνιο με πλευρές.

(ΑΒ)=4+2=6εκ, (ΑΓ)=6+2=8εκ., και (ΒΓ)=8+2=10εκ. αντίστοιχα., των οποίων οι τιμές αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα (6,4,10).

Επαλήθευση:

(ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2 ---> (8+x)^2=(4+x)^2+(6+x)^2 ---> (8+2)^2=(4+2)^2+(6+2)^2 ----> 10^2=6^2+8^2 100=36+64 ο.ε.δ.

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο.Ε.Δ.Β.Α.

Ο Δρομέας

Ένας δρομέας μπορεί να τρέξει από το σημείο «Κ» έως στο σημείο «Λ» και να επιστρέψει στο σημείο «Κ» σ’ ένα ορισμένο χρόνο με σταθερή ταχύτητα 4Km./h. Εάν τρέξει από το σημείο «Κ» προς το σημείο «Λ» με ταχύτητα 3Km./h και επιστέψει από το σημείο «Λ» προς το σημείο «Κ» με ταχύτητα 5Km./h, χρειάζεται 10λεπτά περισ-σότερο για την συνολική διαδρομή. Πόση χιλιόμετρα είναι η διαδρομή «Κ-Λ»;

Λύση

Η διαδρομή είναι 5Km.. Έστω «x» Km. η διαδρομή «Κ-Λ». Ο χρόνος που χρειάζεται ο δρομέας για να διατρέξει τη διαδρομή Κ-Λ-Κ, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι t=2x/4 ---> t=x/2. Για τη διαδρομή Κ-Λ με ταχύτητα 3Km./h ο χρόνος που απαιτείται είναι t=x/3 και για τη διαδρομή «Λ-Κ» με ταχύτητα 5Km./h ο χρόνος που απαιτείται είναι t=x/5. Οπότε έχουμε την εξίσωση:

[(x/3)+(x/5)]=[(x/2+(10/60)] (1)

(5x+3x)/15=(30x+10)/60 ---> 8x/15=(30x+10)/60 ---> 60*8x=15*(30x+10) ----> 480x=450x+150 ----> 480x-450x=150 ----> 30x=150 ----x=150/30 ----> x=5 (2)

Άρα η διαδρομή «Κ-Λ» είναι 5Km.

Επαλήθευση:

[(x/3)+(x/5)]=[(x/2+(10/60)] ----> [(5/3)+(5/5)]=[(5/2)+(10/60) ----> [(5/3)+1]=[(5/2)+(1/6)] ----> (5+3)/3=[[(3*5)+1]/6] ----> 8/3=(15+1)/6 ----> 8*6=3*16 ----> 48=3*16

Πηγή:

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.12, πρβ.12,20, σελ.244, εκδ. Σαββάλας

Η Θέση

Ο Κώστας πήγε στον κινηματογράφο «Αθήναιον» να δει την ταινία «Καζαμπλάνκα». Λόγω της ταινίας υπήρχαν μπροστά στο ταμείο μαζί με το Κώστα 17 άτομα.

(α) Μπροστά του υπάρχουν τριπλάσια άτομα απ’ όσα βρίσκονται πίσω του. Ποια είναι η θέση του από την αρχή της σειράς;

(β) Εάν η εκφώνηση του προβλήματος ήταν αντίστροφη και μετρούσαμε τα άτομα από το τέλος προς το ταμείο. Ποια είναι η θέση του από τo τέλος της σειράς;

Διευκρίνιση:

(α) Η σειρά ξεκινάει από το ταμείο.

(β) Η σειρά ξεκινάει από το τέλος προς το ταμείο.

Λύση

(α)Ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς από την αρχή.

(β)Ο Κώστας βρίσκεται στην 5η θέση της ουράς από το τέλος.

(α)Τα άτομα που περιμένουν στη σειρά χωρίς το Κώστα είναι:

17-1=16 άτομα.

Τα 16 άτομα είναι χωρισμένα σε 4 ίσα μέρη, από τα οποία τα τρία τέταρτα βρίσκονται μπροστά από το Κώστα και το ένα τέταρτο πίσω του. Επομένως μπροστά του βρίσκονται:

16*(3/4)=4*3=12 άτομα

Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς που περιμένει στο ταμείο.

(β)3(ν-1)=17-ν ---> 3ν-3=17-ν ---> 3ν+ν=17+3 ---> 4ν=20 ---> ν=20/4 ---> ν=5 θέση

Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 5η θέση της ουράς από το τέλος.

Τα Χρήματα

Ο κ. Ασημάκης μια μέρα αποφάσισε να πάει παρέα με τους φίλους του σε μια ταβέρνα στη γειτονιά του, «Το Γιοματάρι», για να θυμηθούν τα παλιά. Αφού παραγγείλανε τα σχετικά, αρχίσανε να συζητάνε και να θυμούνται τα περασμένα πίνοντας, τρώγοντας και τραγουδώντας παλιά τραγούδια . Έτσι πέρασε η ώρα και ο κ. Ασημάκης αποφάσισε να φύγει. Αφού πλήρωσε το λογαριασμό διαπίστωσε ότι είχε στο πορτοφόλι του τόσα λεπτά όσα ήταν τα ευρώ που είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει μετά την πληρωμή του λογαριασμού είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά. (π.χ. αρχικά είχε 12,10€ και μετά την πληρωμή του λογαριασμού έχει 5,12€). Πόσα χρήματα είχε αρχικά, εάν τα χρήματα που του έμειναν στο πορτοφόλι αντιστοιχούν στα μισά από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό;

Λύση

Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε στο πορτοφόλι του 99,98€ και μετά τη πληρωμή του λογαριασμού είχε στο πορτοφόλι του 49,99€ που αντιστοιχούν στα μισά χρήματα που είχε αρχικά. Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε α € και β λεπτά μετά την πληρωμή του λογαριασμού είχε (β/2)€ και α λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:

α = 2*(β/2)+1 (1)

β = 2α–100 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

α = 2*(β/2)+1 ---> α= β + 1 (3)

Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:

α = β+1 ---> α = 2α–100+1 ---> α = 99 (4)

Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:

β = 2α – 100 ----> β=[(2*99)-100] ---> β=198-100 ---> β=98 (5)

Επαλήθευση:

α = 2 *(β/2)+1 ---> α=2*(98/2)+1 ---> α=98+1 ----> α=99

β = 2α–100 ---> [(2*99)-100] ----> β=198-100 ----> β=98

Η Πυραμίδα

Το ύψος μιας Αιγυπτιακής πυραμίδας, σε μέτρα, είναι μεγαλύτερο από το γινόμενο δύο περιττών διψήφιων αριθμών, αλλά μικρότερο από το τετράγωνο του ημιαθροίσματός τους. Για ποιον Φαραώ κατασκευάσθηκε η εν λόγω πυραμίδα και πιο είναι το ύψος της;

Λύση

Από τη διατύπωση του προβλήματος καταλαβαίνουμε ότι οι δύο περιττοί αριθμοί είναι διαφορετικοί, ειδάλλως, το γινόμενό τους θα ήταν ίσο με το τετράγωνο του ημιαθροίσματος τους. Επομένως, το ελάχιστο δυνατό γινόμενο είναι 11*13=143. Το επόμενο γινόμενο είναι 11*15=165. Αφού δεν υπάρχει καμιά πυραμίδα ψηλότερη από 165μ., οι περιττοί αριθμοί είναι το 11 και το 13, και το ύψος της πυραμίδας είναι μεγαλύτερο από τα 143μ., αλλά μικρότερο από τα [(11+13)/2]^2=(24/2)^2=12^2=144μ. Η πυραμίδα του Φαραώ Χέοπα (≈2609 π.Χ. – 2566 π.Χ.) έχει ύψος 146,60μ. και η πυραμίδα του Φαραώ Χεφρήνου έχει ύψος 143,50μ. Επομένως η πυραμίδα κατασκευάστηκε, περίπου το 2520 π.Χ., για τον Φαραώ Χεφρήνο (Χεφρήν)(≈2535 π.Χ-2479 π.Χ.).

Πηγή:

Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1ος, πρβ.15, Σελ.22)

Οι ΚαραμέλεςIV

Ο Γιώργος και οι φίλοι του έχουν 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασαν μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθένας πήρε ακέραιο αριθμό από καραμέλες. Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψαν το 20% του μεριδίου τους. Έτσι ο Γιώργος πήρε συνολικά περισσότερες από 120 καραμέλες. Να βρείτε πόσα άτομα ήταν συνολικά μαζί με το Γιώργο και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος.

Λύση

Μαζί με τον Γιώργο ήταν συνολικά 5 άτομα. Ο Γιώργος πήρε συνολικά 144 καραμέλες.

Έστω ότι ο Γιώργος και οι φίλοι του ήταν συνολικά «x» άτομα, .όπου x≥4 , από την υπόθεση. Τότε ο καθένας τους αρχικά πήρε:

450/x καραμέλες.(1)

Ο τρεις φίλοι επέστρεψαν στο Γιώργο συνολικά:

3*(20/100)*450/x)=(3*20*450)/100x=270/x καραμέλες (2)

Ο Γιώργος πήρε συνολικά:

(450/x)+(270/x)=720/x καραμέλες (3)

Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος βρίσκουμε ότι:

720/x>120 ---> 120x<720 ---> x<720/120 ---> x<6

Επομένως οι δυνατές τιμές για το «x» είναι x=4 ή x=5.

Όμως η τιμή x=4 απορρίπτεται, γιατί η διαίρεση (450:4=112,5) δεν δίνει ακέραιο πηλίκο.

Άρα είναι x=5 (4)

Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στην (1) και βρίσκουμε ότι αρχικά ο καθ’ ένας πήρε από:

450/x=450/5=90 καραμέλες (5)

Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στη (3) και βρίσκουμε ότι ο Γιώργος πήρε:

720/x=720/5=144 [90+54(18*3)] καραμέλες (πάνω από 120 καραμέλες εξ’ υποθέσεως)

ή (3*20*450)/100x=(3*20*450)/100*5=(3*2*45)/5=270/5=144 καραμέλες

Ο καθ’ ένας από τους τρεις φίλους του επέστρεψε στο Γιώργο:

90*20%=18 καραμέλες

Και συνολικά οι τρεις φίλοι του επέστρεψαν:

18*3=54 καραμέλες

77ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA“Ο ΘΑΛΗΣ”/ 12 Νοεμβρίου 2016 (Γ΄ Γυμνασίου)

Πηγή:

https://drive.google.com/file/d/0B3sOOZaW1dRGTUtNMC1ULXBhaTg/view

Τα Ζεύγη

Πόσα ζεύγη πρώτων αριθμών έχουν άθροισμα 825;

Α.0, Β.1, Γ.2, Δ.3, Ε.4

Σημείωση:

Ερώτημα του λεπτού, που τέθηκε σ’ εξετάσεις μαθηματικών για SAT

Λύση

Ένα ζεύγος. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί πλην του 2 είναι περιττοί συνεπώς, εάν ένα ζεύγος πρώτων αριθμών αποτελείται από δυο περιττούς αριθμούς το άθροισμα είναι άρτιος αριθμός. Όμως το 825 είναι περιττός αριθμός, άρα εάν υπάρχει ζεύγος πρώτων αριθμών με άθροισμα περιττό αριθμό, αποτελείται από ένα περιττό αριθμό και έναν άρτιο αριθμό, από το 2 και τον 823 (825-2=823).Ο 823 είναι πρώτος αριθμός άρα το μοναδικό ζεύγος που ικανοποίει τις προϋποθέσεις του προβλήματος είναι (2, 823).

Πηγή:

http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/12/825.html#comment-form

Η Μηνιαία Δόση

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσυκλέτα, Α (BMW), Β (Honda), και Γ (Yamaha). Ο πωλητής, για την εξόφληση των μοτοσυκλετών, ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και συμφώνησαν να πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€. Εάν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι 3.000€ για την μοτοσυκλέτα Α, 3.315€ για την μοτοσυκλέτα Β, και 3.840€ για την μοτοσυκλέτα Γ, να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης

Λύση

Το ποσό της μηνιαίας δόσης ανέρχεται στα 105€. Έστω «α» το ποσό της προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:

(β/3.000)-α (1)

(β/3.315)-α (2)

(β/3.840)-α (3)

Από την πρώτη και τη δεύτερη σχέση προκύπτει:

β/3.315-3.000-α+α=315€ (α), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Α» και «Β»

Από την δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει:

β/3.840-3.315-α+α=525 (β), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Β» και «Γ»

Από την (β) και (α) έχουμε:

525-315=210€ (γ), η διαφορά των δύο κοστών

Από την (α) και (γ) έχουμε:

315-210=105€, η διαφορά των δύο κοστών

Επειδή εξ’ ορισμού «...το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€» β>100, ο μόνος θετικός διαιρέτης του 105 μεγαλύτερος του 100 είναι το 105, δεχόμαστε ως μηνιαία δόση το β=105€.

Πηγή:

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών A’ Γυμνασίου (2016)

Οι Αγώνες

Σ’ ένα τουρνουά σκακιού με σύστημα νοκάουτ, συμμετέχουν 206 παίκτες. Πόσοι αγώνες θα διεξαχθούν μέχρι να αναδειχθεί ο μοναδικός νικητής;

Λύση

Θα διεξαχθούν 205 αγώνες. Επειδή μετά από κάθε αγώνα αποχωρεί ένας παίχτης (ο ηττημένος) στο τέλος των αγώνων έχουν αποχωρήσει οι (ν-1) παίχτες (πλην του νικητή), οπότε έγιναν (ν-1) αγώνες:

(ν-1)=206-1=205 αγώνες

Σημείωση:

Σε νοκάουτ αγώνες, ο αριθμός των παικτών ακολουθεί τις δυνάμεις του 2:

2, 4, 8, 16, ... , Ν

Λύση με πίνακες:

Α' Λύση:

^Δεν έπαιξε στο 2ο γύρο, αλλά θα παίξει στο 3ο γύρο.

^^Δεν έπαιξε στο 5ο και 6ο γύρο, αλλά θα παίξει στον 7ο γύρο.

Β΄Λύση:

^Δεν έπαιξαν στο 1ο γύρο, αλλά θα παίξουν στο 2ο γύρο.

Γ΄Λύση:

Το σύνολο των ζευγαριών των συμμετεχόντων σε κάθε γύρο αποτελείται από έναν αριθμό πολλαπλάσιο του 2 (2,4,8,16,32,64,128,256,...,N) σε φθίνουσα σειρά από το δεύτερο γύρο και μετά. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε:

Συνολικές Συμμετοχές:....................................................................206

Επόμενο Πολλαπλάσιο του 2:........................................................256

Η Διαφορά αποτελεί τους Ελεύθερους Παίκτες του 1ου γύρου: 50 (ΒΥE)

*ΒΥΕ=Ελεύθερος Αγώνος

Έχουμε όταν ο συνολικός αριθμός των συμμετεχόντων για τον επόμενο γύρο είναι μονός, αποχωρεί ένας εξ αυτών για να δημιουργηθεί ζυγός αριθμός παικτών, ώστε ν’ αποτελέσουν ζευγάρια άρτια. Ο παίκτης που δε συμμετέχει στο συγκεκριμένο γύρο παίρνει ένα βαθμό άνευ αγώνος, αλλά δεν δικαιούται άλλο ΒΥΕ στους επόμενους γύρους.